Cvičení z Lineární algebry II (letní semestr 2015/2016)

Přednáška: Přednáší RNDr. Ondřej Pangrác, Ph.D. Stránky přednášky zde.

Konzultace: Po dohodě. Kancelář mám ve 5. patře na Malé Straně, ve společné místnosti doktorandů. Bez předchozí domluvy mě tam však nejspíše nezastihnete.

Podmínky pro udělení zápočtu:

• Na zápočet je nutno získat alespoň:
  • 60% za malé písemky a domácí úkoly během semestru dohromady.
  • 50% ze zápočtové písemky ke konci semestru.
• Body je možno získávat za:
• Domácí úkoly: Bude zadáno celkem 8 úkolů, každý za 6 bodů. Celkem tedy je možno získat 48 bodů za úkoly.
• Termín odevzdání: Vždy do začátku následujícího cvičení. Úkoly odevzdané pozdě jsou automaticky za 0 bodů.
• Způsob odevzdání: Emailem ve formátu pdf (nikoliv scan ručně psaného textu) nebo do krabice ve třetím patře na chodbě KAM (dveře naproti S3), případně osobně před začátkem cvičení.
• Malé písemky: Na začátku každé hodiny kromě první a předposlední se bude psát malá písemka na definice, znění vět z přednášky a příklady. Každá malá písemka bude za 8 bodů. Počítá se 10 vašich nejlepších výsledků => celkem tedy max. 80 bodů za tyto písemky.
• Zápočtové písemky: Bude 1 ke konci semestru.
• Docházka: Není povinná.

• Pokud se vám nepovedla zápočtová písemka, bude možno psát opravnou.
• Kdo nebude mít na konci semestru 60% bodů za malé písemky a domácí úkoly, ale bude mít alespoň 50% bodů, bude mít možnost získat potřebné body ústním přezkoušením.

1. cvičení (25.2.2016) - Podmínky na zápočet. Skalární součin (standardní i jiné), norma (definice, příklady - l_p normy), ortogonalita, Cauchy-Schwarzova nerovnost, Pythagorova věta a rovnoběžníkové pravidlo.

Příklady ze cvičení zde (v pdf): pdf file

2. cvičení (3.3.2016) - Ortogonalita a ortonormalita. Gram-Schmidtova ortonormalizace. Ortogonální doplněk, ortogonální projekce.

Domácí úkol zde (v pdf): pdf file
Příklady ze cvičení zde (v pdf): pdf file

3. cvičení (10.3.2016) - Ještě Gram-Schmidtova ortonormalizace, Gramova matice. Ortogonální projekce v R^n se std. součinem, matice projekce.

Domácí úkol zde (v pdf): pdf file
Příklady ze cvičení zde (v pdf): pdf file

4. cvičení (17.3.2016) - Ještě o Gramově matici. Ortogonální projekce v R^n se std. součinem, matice projekce. Metoda nejmenších čtverců.

Domácí úkol zde (v pdf): pdf file
Příklady ze cvičení zde (v pdf): pdf file

5. cvičení (24.3.2016) - Ještě metoda nejmenších čtverců, lineární regrese. Skalární součin v prostoru spojitých funkcí na intervalu a počítání v něm.

Příklady ze cvičení zde (v pdf): pdf file

6. cvičení (31.3.2016) - Počítání determinantů - Sarrusovo pravidlo, elementární úpravy, Laplaceův rozvoj.

Domácí úkol zde (v pdf): pdf file
Příklady ze cvičení zde (v pdf): pdf file

7. cvičení (7.4.2016) - Adjungovaná matice a její souvislost s maticovou inverzí. Cramerovo pravidlo. Vandermondova matice a Lagrangeova interpolace.

Domácí úkol zde (v pdf): pdf file
Příklady ze cvičení zde (v pdf): pdf file

8. cvičení (14.4.2016) - Vlastní čísla a vlastní vektory. Charakteristický polynom. Základní vlastnosti vlastních čísel a vztahy mezi nimi. Vlastní čísla grafu.

Příklady ze cvičení zde (v pdf): pdf file

9. cvičení (21.4.2016) - Podobnost, diagonalizovatelnost. Umocňování a odmocňování matice pomocí diagonálního tvaru. Maticové funkce definované řadou.

Domácí úkol zde (v pdf): pdf file
Příklady ze cvičení zde (v pdf): pdf file

10. cvičení (28.4.2016) - Cayley-Hamiltonova věta a počítání mocnin a inverzí matic s její pomocí. Limitní chování iterace lineárního zobrazení. Jordanův normální tvar a jak jej najít.

Příklady ze cvičení zde (v pdf): pdf file

11. cvičení (5.5.2016) - Ještě Jordanův normální tvar a jak jej najít, zobecněné vlastní vektory, Jordanovy řetízky.

Domácí úkol zde (v pdf): pdf file
Příklady ze cvičení zde (v pdf): pdf file

12. cvičení (12.5.2016) - Poslední příklad na zobecněné vlastní vektory. Ortonormální báze vlastních vektorů hermitovské matice. Positivní definitnost a semidefinitnost, testování positivní definitnosti Gaussovou eliminací a Sylvesterovým kritériem.

Příklady ze cvičení zde (v pdf): pdf file

13. cvičení (19.5.2016) - Zápočtová písemka.

Domácí úkol zde (v pdf): pdf file

14. cvičení (26.5.2016) - Odmocnina positivně semidefinitní matice. Choleského rozklad positivně (semi-)definitní matice a jeho aplikace na řešení soustav lineárních rovnic. Bilineární a kvadratické formy, jejich maticové a analytické vyjádření. Signatura.

Příklady ze cvičení zde (v pdf): pdf file