LS 2014, Jiří Sgall, středa 15:40, S5
Kontakt a konzultace
Konzultace nejlépe po předběžné domluvě mailem. Často budu k
zastižení v úterý, ve středu a ve čtvrtek dopoledne.
E-mail: last name at iuuk.mff.cuni.cz
Telefon: 221 914 293
http://iuuk.mff.cuni.cz/~sgall/
Pracovna: 3. patro, místnost 326, Malostranské nám. 25
Cvičení mají vlastní stránky, vedou je Martin Böhm
a Marek Eliáš.
Literatura a další pomůcky
Poznámky
k přednášce v tuto chvíli bohužel nejsou dopsané ale poslouží k
přehledu první části přednášky, která je dobře pokryta dvojími skripty
J. Matouška Lineární programování a lineární
algebra pro informatiky a Introduction to Discrete Geometry. Pro druhou část použijte nejlépe poznámky z r. 2010; algoritmy pro párování jsou dobře pokryty v knize Cook et al: Combinatorial
Optimization, která je v informatické knihovně.
- Poznámky k přednáškám (verze 5. 4. 2014)
- Představu o přednášce si můžete udělat podle stránek předchozího běhu z r. 2012.
- Poznámky k přednáškám z roku 2012
- 1. Úvod, úloha lineárního a
celočíselného programování
- 2. Konvexní množiny
- 3. Konvexní mnohostěny, věta
Minkowski-Weyl
- 4. Stěny mnohostěnu, minimální popis
mnohostěnu
- 5. Minimální popis mnohostěnu,
simplexová metoda
Promítaný příklad simplexové metody
- 6. Simplexová metoda
- 7. Elipsoidová metoda, totální
unimodularita
- 8. Dualita lineárního programování,
Farkasovo lemma
Promítaný příklad duality
- 9. Dualita, dokončení důkazu,
komplementarita
- 10. Aplikace unimodularity: toky v
sítích, bipartitní párování
- 11. Maximální párování minimální ceny
v obecných grafech
- 12. Párování - dokončení, polytop
párování
- 13. Matroidy
- 14. Celočíselné programování, metoda
řezů
- Poznámky k přednáškám z roku 2010
- Knihy a skripta:
- Zdroje na internetu:
Zkoušky
Termíny
Termíny jsou vypsány v SISu. Dopoledne jsou rozdělená na skupiny, aby se příchody rozložily a zkrátilo čekání; můžete
přicházet i průběžně.
Před složením zkoušky je nutné získat zápočet. Abych umožnil
plánování zkoušek s předstihem, není to formální podmínka v SIS. Ale
před samotnou zkouškou musíte mít zápočet zapsaný aspoň v SIS.
Když se přihlásíte na některý termín, tak jej využijte nebo se včas
omluvte či odhlašte. Propadlým termínem ztracíte svůj pokus, navíc
případně propadlý termin mohl využít některý z vašich spolužáků.
Naplánujte si první termín tak, abyste měli čas na případný opravný
termín.
Průběh zkoušky
Součastí zkoušky jsou příklady (napsat duální program, napsat
lineární program pro daný problém, spočítat vrchol mnohostěnu
apod.).
Hlavní částí zkoušky je ústní zkouška z probírané teorie. Po
zadání otázek budete mít čas na přípravu. Studijní materiály
(skripta, učebnice a zápisky z přednášek) ani notebooky,
kalkulačky, PDA, atd., nejsou u zkoušky dovoleny. Společenský
oblek není nutný.
Probraná témata - aktuální
- 19. 2.
- optimalizační problémy, příklady
- úloha lineárního programování
- převedení rovnic na nerovnice atd.
- úloha celočíselného programování
- příklad: dopravní problém
- 26. 2.
- příklad: hledání nejkratší cesty, dvě formulace (primární a
duální)
- příklady: vrcholové pokrytí, nezávislá množina
- příklad: perfektní párování maximální váhy, optimum LP
relaxace je rovno celočíselnému optimu
- opakování: afinní prostory, obal, kombinace, nezávislost
- definice: dimenze,
- 5. 3.
- definice: konvexní množina, konvexní obal, konvexní
kombinace
- konvexní obal X je množina všech konvexních kombinací bodů z
X
- věta (Caratheodory): bod konvexního obalu X je konvexní
kombinací kombinací nejvýše d+1 bodů z X, kde d je dimenze X
- definice: nadrovina, poloprostor
- definice: konvexní mnohostěn jako průnik poloprostorů
- terminologie: omezený konvexní mnohostěn
- věta o oddělování konvexních množin nadrovinou
- věta Minkowski-Weyl: X je omezený konvexní mnohostěn
právě když X je konvexní obal konečné množiny bodů
- 12. 3.
- věta Minkowski-Weyl - důkaz
- definice: stěna mnohostěnu, vrchol, faseta
- věta: omezený mnohostěn je konvexní obal vrcholů, vrcholy
jsou právě extremální body
- věta: stěna stěny je stěna
- 19. 3.
- minimální popis mnohostěnu
- věta: dimenze polytopu je dána hodností systému rovnic v
minimálním popisu
- věta: v minimálním popisu polytopu nerovnosti vzájemně
jednoznačně odpovídají fasetám
- stěna jako průnik faset
- svaz stěn mnohostěnu
- simplexová metoda
- příklad
- bázické řešení
- pivotovací krok
- 26. 3.
- simplexová metoda
- bázické řešení
- pivotovací krok obecně
- ukončení (optimum, neomezenost)
- nalezení počátečního řešení dvoufázovou metodou
- degenerovanost
- pivotovací pravidla
- efektivnost, zacyklení
- výpočetní složitost
- metody vnitřního bodu
- 2. 4.
- elipsoidová metoda, separační orákulum
- dualita: příklad, znění pro různé tvary LP, rovnicový
tvar apod.
- Farkasovo lemma pro nerovnice pomocí
Fourier-Motzkinovy eliminace
- Farkasovo lemma pro rovnice
- 9. 4.
- věta o odvozování libovolné platné nerovnosti, která je
důsledkem soustavy nerovností
- dualita: důkaz z Farkasova lemmatu
- 16. 4.
- dualita: podmínky komplementarity
- totálně unimodulární matice
- definice, důsledky pro LP
- totálně unimodulární matice se dvěma nenulovými prvky ve
sloupci
- 23. 4.
- toky a řezy: unimodularita, dualita a její důsledky
- Königova věta: dualita maximálního párování a
minimálního vrcholové pokrytí v bipartitním grafu
- perfektní párování minimální ceny v bipartitním grafu
pomocí primárně duálního algoritmu
- 30. 4.
- párování v obecných grafech
- párování maximální velikosti
- perfektní párování minimální ceny (Edmonsův
kvítkový/blossom algoritmus)
- 7. 5.
- polytop párování, jen definice a souvislost s algoritmem
- metoda řezů (sečných nadrovin, cutting plane
methods)
- platný řez, příklady
- věta o univerzalitě: lze odvodit každou nerovnost
platnou pro všechna celočíselná řešení
- 21. 5.
- matroidy
- definice, charakterizace množiny bází
- příklady: vektorové prostory, lesy, Fano
- řádová funkce (rank) - definice a vlastnosti
- hladový algoritmus
- přehled metod celočíselného programování