LS 2021, Jiří Sgall, pondělí 12:20, zoom
Distanční výuka
proběhne formou online přednášek přes zoom.
Adresa je https://cesnet.zoom.us/j/95420761676.
Záznamy budou k dispozici v SISu.
Budu rád, pokud se budete přednášky interaktivně
účastnit. V ideálním případě by alespoň některé pasáže mohly být
spíše diskusí a kratším návodem ke čtení složitějších důkazů v
poznámkách či ke sledování nahrávek staršího běhu přednášky z r.
2018.
Videozáznam z r. 2018
je k dispozici na https://mff.cuni.cz/prednasky/NOPT048.
(Probíhala tehdy pod názvem Optimalizační metody, ale sylabus je
nezměněný.)
Kontakt a konzultace
Konzultace nejlépe po předběžné domluvě mailem.
E-mail: last name at iuuk.mff.cuni.cz
Telefon: 951 554 293, 608 035 102
https://iuuk.mff.cuni.cz/~sgall/
Pracovna: 3. patro, místnost 307, Malostranské nám. 25
Cvičení mají vlastní
stránky, vede je Martin Balko, konají se ve středu ve 12:20.
Zkoušky
Termíny
Prezenční termíny jsou vypsány v SISu. Časy jsou rozdělené na
skupiny, aby se příchody rozložily a zkrátilo čekání; můžete
přicházet i průběžně.
Pokud potřebujete distanční termín, kontaktujte mě mailem, napište i
týden, který by Vám vyhovoval. Na konkrétním čase se pak dohodneme
individuálně. Případně, pokud bude větší zájem, vypíšu termíny také
v SISu.
Před složením zkoušky je nutné získat zápočet. Abych umožnil
plánování zkoušek s předstihem, není to formální podmínka v SIS. Ale
před samotnou zkouškou musíte mít zápočet zapsaný v SIS.
Když se přihlásíte na některý termín, tak jej využijte nebo se včas
omluvte či odhlašte. Propadlým termínem ztracíte svůj pokus, navíc
případně propadlý termin mohl využít některý z vašich spolužáků.
Odhlášení je zablokováno dva dny před termínem, i proto, aby
nedocházelo ke změnám časů na poslední chvíli. Naplánujte si první
termín tak, abyste měli čas na případný opravný termín.
Průběh zkoušky
Součastí zkoušky je minipísemka s příklady (napsat duální
program, napsat lineární program pro daný problém, spočítat vrchol
mnohostěnu apod.). Té se můžete vyhnout získáním 70 bodů na
cvičeních.
Hlavní částí zkoušky je ústní zkouška z probírané teorie. Po
zadání otázek budete mít čas na přípravu. Studijní materiály
(skripta, učebnice a zápisky z přednášek) ani notebooky,
kalkulačky, PDA, atd., nejsou u zkoušky dovoleny. Společenský
oblek není nutný.
Literatura a další pomůcky
Poznámky k přednášce v tuto chvíli bohužel nejsou dopsané ale
poslouží k přehledu první části přednášky, která je dobře pokryta
dvojími skripty J. Matouška Lineární programování a lineární
algebra pro informatiky a Introduction to Discrete
Geometry. Pro druhou část použijte nejlépe poznámky z r.
2010; algoritmy pro párování jsou dobře pokryty v knize Cook
et al: Combinatorial Optimization, která je v informatické
knihovně.
Probraná témata
- 1. (1. 3.)
- historie optimalizace, optimalizační problémy
- příklad: maticové hry
- úloha lineárního programování
- převedení rovnic na nerovnice atd.
- úloha celočíselného programování
- 2. (8. 3.)
- příklad: hledání nejkratší cesty, dvě formulace (primární a
duální)
- opakování: afinní prostory, obal, kombinace, nezávislost
- definice: dimenze
- definice: konvexní množina, konvexní obal, konvexní
kombinace
- konvexní obal X je množina všech konvexních kombinací bodů z
X
- 3. (15. 3.)
- věta (Caratheodory): bod konvexního obalu X je konvexní
kombinací kombinací nejvýše d+1 bodů z X, kde d je dimenze X
- definice: nadrovina, poloprostor
- definice: konvexní mnohostěn jako průnik poloprostorů
- terminologie: omezený konvexní mnohostěn
- věta o oddělování konvexních množin nadrovinou
- věta Minkowski-Weyl: X je omezený konvexní mnohostěn
právě když X je konvexní obal konečné množiny bodů
- 4. (22. 3.)
- věta Minkowski-Weyl - dokončení důkazu
- definice: stěna mnohostěnu, vrchol, faseta
- věta: omezený mnohostěn je konvexní obal vrcholů, vrcholy
jsou právě extremální body
- věta: stěna stěny je stěna
- 5. (29. 3.)
- minimální popis mnohostěnu
- věta: dimenze polytopu je dána hodností systému rovnic v
minimálním popisu
- věta: v minimálním popisu polytopu nerovnosti vzájemně
jednoznačně odpovídají fasetám
- stěna jako průnik faset
- svaz stěn mnohostěnu
- simplexová metoda - příklad
- 6. (12. 4.)
- simplexová metoda
- příklad
- bázické řešení
- pivotovací krok
- ukončení (optimum, neomezenost)
- degenerovanost
- pivotovací pravidla
- efektivnost, zacyklení
- 7. (19. 4.)
- simplexová metoda
- nalezení počátečního řešení dvoufázovou metodou
- výpočetní složitost
- elipsoidová metoda, stručný popis, separační
orákulum, výpočetní složitost
- metody vnitřního bodu
- dualita: příklad
- Farkasovo lemma pro nerovnice pomocí Fourier-Motzkinovy eliminace
- 8. (26. 4.)
- Farkasovo lemma pro nerovnice - dokončení
- Farkasovo lemma pro rovnice
- věta o odvozování libovolné platné nerovnosti, která je
důsledkem soustavy nerovností
- dualita: důkaz z Farkasova lemmatu
- 9. (3. 5.)
- dualita: znění pro různé tvary LP, rovnicový tvar
apod.
- dualita: podmínky komplementarity
- perfektní párování minimální ceny v bipartitním grafu
pomocí primárně duálního algoritmu
algoritmus
- 10. (10. 5.)
- párování v obecných grafech
- párování maximální velikosti
- perfektní párování minimální ceny (Edmonsův
kvítkový/blossom algoritmus)
- 11. (17. 5.)
- totálně unimodulární matice
- definice, důsledky pro LP
- totálně unimodulární matice se dvěma nenulovými prvky ve
sloupci
- Königova věta: dualita maximálního párování a
minimálního vrcholové pokrytí v bipartitním grafu
- toky a řezy: unimodularita, dualita a její důsledky
- 12. (24. 5.)
- matroidy
- definice, charakterizace množiny bází
- příklady: vektorové prostory, lesy
- řádová funkce (rank) - definice a vlastnosti
- hladový algoritmus
- polytop matroidu a průniku dvou matroidů, jejich
celočíselnost
- 13. (31. 5.)
- metoda řezů (sečných nadrovin, cutting plane
methods)
- platný řez, příklady
- věta o univerzalitě: lze odvodit každou nerovnost
platnou pro všechna celočíselná řešení
- polytop perfektního párování, definice a souvislost s
řezy, celočíselnost
- aproximační algoritmy
- 2-aproximační algoritmus pro vrcholové pokrytí
- přehled metod celočíselného programování
- neprobraná témata
- příklad: perfektní párování minimální ceny, důkaz existence
celočíselného řešení
- kužely: formulace Minkowski-Weylovy věty pro
neomezené mnohostěny, geometrický důkaz duality
Probraná témata z předchozího běhu v r. 2018 (s nahrávkou)
- 1. (19. 2.)
- historie optimalizace, optimalizační problémy
- příklad: maticové hry
- úloha lineárního programování
- převedení rovnic na nerovnice atd.
- úloha celočíselného programování
- příklad: hledání nejkratší cesty, dvě formulace (primární a
duální)
- 2. (26. 2.)
- příklad: perfektní párování minimální ceny, důkaz existence
celočíselného řešení
- opakování: afinní prostory, obal, kombinace, nezávislost
- definice: dimenze
- definice: konvexní množina, konvexní obal, konvexní
kombinace
- konvexní obal X je množina všech konvexních kombinací bodů z
X
- 3. (12. 3.)
- věta (Caratheodory): bod konvexního obalu X je konvexní
kombinací kombinací nejvýše d+1 bodů z X, kde d je dimenze X
- definice: nadrovina, poloprostor
- definice: konvexní mnohostěn jako průnik poloprostorů
- terminologie: omezený konvexní mnohostěn
- věta o oddělování konvexních množin nadrovinou
- věta Minkowski-Weyl: X je omezený konvexní mnohostěn
právě když X je konvexní obal konečné množiny bodů
- 4. (19. 3.)
- definice: stěna mnohostěnu, vrchol, faseta
- věta: omezený mnohostěn je konvexní obal vrcholů, vrcholy
jsou právě extremální body
- věta: stěna stěny je stěna
- 5. (26. 3.)
- minimální popis mnohostěnu
- věta: dimenze polytopu je dána hodností systému rovnic v
minimálním popisu
- věta: v minimálním popisu polytopu nerovnosti vzájemně
jednoznačně odpovídají fasetám
- stěna jako průnik faset
- svaz stěn mnohostěnu
- 6. (9. 4.)
- simplexová metoda
- příklad
- bázické řešení
- pivotovací krok
- ukončení (optimum, neomezenost)
- degenerovanost
- pivotovací pravidla
- efektivnost, zacyklení
- 7. (16. 4.)
- simplexová metoda
- nalezení počátečního řešení dvoufázovou metodou
- výpočetní složitost
- elipsoidová metoda, stručný popis, separační
orákulum, výpočetní složitost
- metody vnitřního bodu
- dualita: příklad
- Farkasovo lemma pro nerovnice pomocí Fourier-Motzkinovy eliminace
- 8. (23. 4.)
- Farkasovo lemma pro rovnice
- věta o odvozování libovolné platné nerovnosti, která je
důsledkem soustavy nerovností
- dualita: znění pro různé tvary LP, rovnicový tvar
apod.
- dualita: důkaz z Farkasova lemmatu
- 9. (30. 4.)
- dualita: podmínky komplementarity
- perfektní párování minimální ceny v bipartitním grafu
pomocí primárně duálního algoritmu
algoritmus
- 10. (7. 5.)
- párování v obecných grafech
- párování maximální velikosti
- perfektní párování minimální ceny (Edmonsův
kvítkový/blossom algoritmus)
- 11. (14. 5.)
- totálně unimodulární matice
- definice, důsledky pro LP
- totálně unimodulární matice se dvěma nenulovými prvky ve
sloupci
- toky a řezy: unimodularita, dualita a její důsledky
- Königova věta: dualita maximálního párování a
minimálního vrcholové pokrytí v bipartitním grafu
- 12. (21. 5.)
- matroidy
- definice, charakterizace množiny bází
- příklady: vektorové prostory, lesy
- řádová funkce (rank) - definice a vlastnosti
- hladový algoritmus
- polytop matroidu a průniku dvou matroidů, jejich
celočíselnost
- 13. (28. 5.)
- kužely: formulace Minkowski-Weylovy věty pro
neomezené mnohostěny, geometrický důkaz duality
- metoda řezů (sečných nadrovin, cutting plane
methods)
- platný řez, příklady
- věta o univerzalitě: lze odvodit každou nerovnost
platnou pro všechna celočíselná řešení
- přehled metod celočíselného programování
- neprobraná témata
- polytop párování, definice a souvislost s algoritmem,
celočíselnost
- aproximační algoritmy
- 2-aproximační algoritmus pro vrcholové pokrytí