LS 2018, Jiří Sgall, pondělí 15:40, S4
Kontakt a konzultace
Konzultace nejlépe po předběžné domluvě mailem. V LS 2018 budu k
zastižení nejčastěji v pondělí dopoledne.
E-mail: last name at iuuk.mff.cuni.cz
Telefon: 951 554 293
http://iuuk.mff.cuni.cz/~sgall/
Pracovna: 3. patro, místnost 307, Malostranské nám. 25
Cvičení mají vlastní stránky, vedou je Pavel
Hubáček a Ondřej
Mička.
Videozáznam přednášek je k
dispozici na https://mff.cuni.cz/prednasky/NOPT048.
Literatura a další pomůcky
Poznámky k přednášce v tuto chvíli bohužel nejsou dopsané ale
poslouží k přehledu první části přednášky, která je dobře pokryta
dvojími skripty J. Matouška Lineární programování a lineární
algebra pro informatiky a Introduction to Discrete
Geometry. Pro druhou část použijte nejlépe poznámky z r.
2010; algoritmy pro párování jsou dobře pokryty v knize Cook
et al: Combinatorial Optimization, která je v informatické
knihovně.
Zkoušky
Termíny
Termíny jsou vypsány v SISu. Časy jsou rozdělené na skupiny, aby se
příchody rozložily a zkrátilo čekání; můžete přicházet i průběžně.
Před složením zkoušky je nutné získat zápočet. Abych umožnil
plánování zkoušek s předstihem, není to formální podmínka v SIS. Ale
před samotnou zkouškou musíte mít zápočet zapsaný aspoň v SIS.
Když se přihlásíte na některý termín, tak jej využijte nebo se včas
omluvte či odhlašte. Propadlým termínem ztracíte svůj pokus, navíc
případně propadlý termin mohl využít některý z vašich spolužáků.
Naplánujte si první termín tak, abyste měli čas na případný opravný
termín.
Průběh zkoušky
Součastí zkoušky jsou příklady (napsat duální program, napsat
lineární program pro daný problém, spočítat vrchol mnohostěnu
apod.).
Hlavní částí zkoušky je ústní zkouška z probírané teorie. Po
zadání otázek budete mít čas na přípravu. Studijní materiály
(skripta, učebnice a zápisky z přednášek) ani notebooky,
kalkulačky, PDA, atd., nejsou u zkoušky dovoleny. Společenský
oblek není nutný.
Probraná témata
- 1. (19. 2.)
- historie optimalizace, optimalizační problémy
- příklad: maticové hry
- úloha lineárního programování
- převedení rovnic na nerovnice atd.
- úloha celočíselného programování
- příklad: hledání nejkratší cesty, dvě formulace (primární a
duální)
- 2. (26. 2.)
- příklad: perfektní párování minimální ceny, důkaz existence
celočíselného řešení
- opakování: afinní prostory, obal, kombinace, nezávislost
- definice: dimenze
- definice: konvexní množina, konvexní obal, konvexní
kombinace
- konvexní obal X je množina všech konvexních kombinací bodů z
X
- 3. (12. 3.)
- věta (Caratheodory): bod konvexního obalu X je konvexní
kombinací kombinací nejvýše d+1 bodů z X, kde d je dimenze X
- definice: nadrovina, poloprostor
- definice: konvexní mnohostěn jako průnik poloprostorů
- terminologie: omezený konvexní mnohostěn
- věta o oddělování konvexních množin nadrovinou
- věta Minkowski-Weyl: X je omezený konvexní mnohostěn
právě když X je konvexní obal konečné množiny bodů
- 4. (19. 3.)
- definice: stěna mnohostěnu, vrchol, faseta
- věta: omezený mnohostěn je konvexní obal vrcholů, vrcholy
jsou právě extremální body
- věta: stěna stěny je stěna
- 5. (26. 3.)
- minimální popis mnohostěnu
- věta: dimenze polytopu je dána hodností systému rovnic v
minimálním popisu
- věta: v minimálním popisu polytopu nerovnosti vzájemně
jednoznačně odpovídají fasetám
- stěna jako průnik faset
- svaz stěn mnohostěnu
- 6. (9. 4.)
- simplexová metoda
- příklad
- bázické řešení
- pivotovací krok
- ukončení (optimum, neomezenost)
- degenerovanost
- pivotovací pravidla
- efektivnost, zacyklení
- 7. (16. 4.)
- simplexová metoda
- nalezení počátečního řešení dvoufázovou metodou
- výpočetní složitost
- elipsoidová metoda, stručný popis, separační
orákulum, výpočetní složitost
- metody vnitřního bodu
- dualita: příklad
- Farkasovo lemma pro nerovnice pomocí Fourier-Motzkinovy eliminace
- 8. (23. 4.)
- Farkasovo lemma pro rovnice
- věta o odvozování libovolné platné nerovnosti, která je
důsledkem soustavy nerovností
- dualita: znění pro různé tvary LP, rovnicový tvar
apod.
- dualita: důkaz z Farkasova lemmatu
- 9. (30. 4.)
- dualita: podmínky komplementarity
- perfektní párování minimální ceny v bipartitním grafu
pomocí primárně duálního algoritmu
algoritmus
- 10. (7. 5.)
- párování v obecných grafech
- párování maximální velikosti
- perfektní párování minimální ceny (Edmonsův
kvítkový/blossom algoritmus)
- 11. (14. 5.)
- totálně unimodulární matice
- definice, důsledky pro LP
- totálně unimodulární matice se dvěma nenulovými prvky ve
sloupci
- toky a řezy: unimodularita, dualita a její důsledky
- Königova věta: dualita maximálního párování a
minimálního vrcholové pokrytí v bipartitním grafu
- 12. (21. 5.)
- matroidy
- definice, charakterizace množiny bází
- příklady: vektorové prostory, lesy
- řádová funkce (rank) - definice a vlastnosti
- hladový algoritmus
- polytop matroidu a průniku dvou matroidů, jejich
celočíselnost
- 13. (28. 5.)
- kužely: formulace Minkowski-Weylovy věty pro
neomezené mnohostěny, geometrický důkaz duality
- metoda řezů (sečných nadrovin, cutting plane
methods)
- platný řez, příklady
- věta o univerzalitě: lze odvodit každou nerovnost
platnou pro všechna celočíselná řešení
- přehled metod celočíselného programování
- neprobraná témata
- polytop párování, definice a souvislost s algoritmem,
celočíselnost
- aproximační algoritmy
- 2-aproximační algoritmus pro vrcholové pokrytí