LS 2016, Jiří Sgall, středa 9:00, S3
Kontakt a konzultace
Konzultace nejlépe po předběžné domluvě mailem. V LS 2016 budu k
zastižení nejčastěji v pondělí dopoledne a ve středu 11-12 hod.
E-mail: last name at iuuk.mff.cuni.cz
Telefon: 221 914 293
http://iuuk.mff.cuni.cz/~sgall/
Pracovna: 3. patro, místnost 326, Malostranské nám. 25
Cvičení mají vlastní stránky, vedou je Radek
Hušek, Tomáš
Masařík a Pavel
Veselý.
Literatura a další pomůcky
Poznámky k přednášce v tuto chvíli bohužel nejsou dopsané ale
poslouží k přehledu první části přednášky, která je dobře pokryta
dvojími skripty J. Matouška Lineární programování a lineární
algebra pro informatiky a Introduction to Discrete
Geometry. Pro druhou část použijte nejlépe poznámky z r.
2010; algoritmy pro párování jsou dobře pokryty v knize Cook
et al: Combinatorial Optimization, která je v informatické
knihovně.
Zkoušky
Termíny
Termíny jsou vypsány v SISu. Dopoledne jsou rozdělená na skupiny,
aby se příchody rozložily a zkrátilo čekání; můžete přicházet i
průběžně.
Před složením zkoušky je nutné získat zápočet. Abych umožnil
plánování zkoušek s předstihem, není to formální podmínka v SIS. Ale
před samotnou zkouškou musíte mít zápočet zapsaný aspoň v SIS.
Když se přihlásíte na některý termín, tak jej využijte nebo se včas
omluvte či odhlašte. Propadlým termínem ztracíte svůj pokus, navíc
případně propadlý termin mohl využít některý z vašich spolužáků.
Naplánujte si první termín tak, abyste měli čas na případný opravný
termín.
Průběh zkoušky
Součastí zkoušky jsou příklady (napsat duální program, napsat
lineární program pro daný problém, spočítat vrchol mnohostěnu
apod.).
Hlavní částí zkoušky je ústní zkouška z probírané teorie. Po
zadání otázek budete mít čas na přípravu. Studijní materiály
(skripta, učebnice a zápisky z přednášek) ani notebooky,
kalkulačky, PDA, atd., nejsou u zkoušky dovoleny. Společenský
oblek není nutný.
Probraná témata
- 1. (24. 2.)
- historie optimalizace, příklady kombinatorické duality (toky
a řezy, Königova věta)
- úloha lineárního programování
- optimalizační problémy, příklady (maximální toky, maximální
toky minimální ceny)
- převedení rovnic na nerovnice atd.
- 2. (2. 3.)
- úloha celočíselného programování
- příklad: hledání nejkratší cesty, dvě formulace (primární a
duální)
- příklad: nezávislá množina
- opakování: afinní prostory, obal, kombinace, nezávislost
- definice: dimenze,
- definice: konvexní množina, konvexní obal, konvexní
kombinace
- 3. (9. 3.)
- konvexní obal X je množina všech konvexních kombinací bodů z
X
- věta (Caratheodory): bod konvexního obalu X je konvexní
kombinací kombinací nejvýše d+1 bodů z X, kde d je dimenze X
- definice: nadrovina, poloprostor
- definice: konvexní mnohostěn jako průnik poloprostorů
- terminologie: omezený konvexní mnohostěn
- definice: stěna mnohostěnu, vrchol, faseta
- 4. (16. 3.)
- věta o oddělování konvexních množin nadrovinou
- věta Minkowski-Weyl: X je omezený konvexní mnohostěn
právě když X je konvexní obal konečné množiny bodů
- 5. (23. 3.)
- věta: omezený mnohostěn je konvexní obal vrcholů, vrcholy
jsou právě extremální body
- věta: stěna stěny je stěna
- minimální popis mnohostěnu
- věta: dimenze polytopu je dána hodností systému rovnic v
minimálním popisu
- věta: v minimálním popisu polytopu nerovnosti vzájemně
jednoznačně odpovídají fasetám
- 6. (30. 3.)
- stěna jako průnik faset
- svaz stěn mnohostěnu
- simplexová metoda
- příklad
- bázické řešení
- pivotovací krok
- ukončení (optimum, neomezenost)
- nalezení počátečního řešení dvoufázovou metodou
- 7. (6. 4.)
- degenerovanost
- pivotovací pravidla
- efektivnost, zacyklení
- výpočetní složitost
- elipsoidová metoda, stručný popis, separační
orákulum, výpočetní složitost
- metody vnitřního bodu
- dualita: příklad
- Farkasovo lemma pro nerovnice pomocí
Fourier-Motzkinovy eliminace
- 8. (13. 4.)
- Farkasovo lemma pro rovnice
- věta o odvozování libovolné platné nerovnosti, která je
důsledkem soustavy nerovností
- dualita: znění pro různé tvary LP, rovnicový tvar
apod.
- dualita: důkaz z Farkasova lemmatu
- 9. (20. 4.)
- dualita: podmínky komplementarity
- kužely: formulace Minkowski-Weylovy věty pro
neomezené mnohostěny, geometrický důkaz duality
- totálně unimodulární matice
- definice, důsledky pro LP
- totálně unimodulární matice se dvěma nenulovými prvky ve
sloupci
- 10. (27. 4.)
- metoda řezů (sečných nadrovin, cutting plane
methods)
- platný řez, příklady
- věta o univerzalitě: lze odvodit každou nerovnost
platnou pro všechna celočíselná řešení
- toky a řezy: unimodularita, dualita a její důsledky
- Königova věta: dualita maximálního párování a
minimálního vrcholové pokrytí v bipartitním grafu
- 11. (11. 5.)
- perfektní párování minimální ceny v bipartitním grafu
pomocí primárně duálního algoritmu
- párování v obecných grafech
- párování maximální velikosti
- 12. (18. 5.)
- párování v obecných grafech
- perfektní párování minimální ceny (Edmonsův
kvítkový/blossom algoritmus)
- polytop párování, definice a souvislost s algoritmem,
celočíselnost
- 13. (25. 5.)
- matroidy
- definice, charakterizace množiny bází
- příklady: vektorové prostory, lesy
- řádová funkce (rank) - definice a vlastnosti
- hladový algoritmus
- polytop matroidu a průniku dvou matroidů, jejich
celočíselnost
- neprobraná témata
- přehled metod celočíselného programování
- aproximační algoritmy
- 2-aproximační algoritmus pro vrcholové pokrytí