Matematická analýza I NMAI054

Kdy a kde: ve čtvrtek od 10:40 v S5.
Tato paralelka je určena pro studenty z kruhů 40-43 (pokud mají kruh definovaný) a studenty bioinformatiky. Přestupy mezi paralelkami jsou možné jen po dohodě s přednášejícími.

Cvičení a cvičící: K paralelce vedou cvičení RNDr. Naděžda Krylová, CSc.(pá 10:40 S11), doc. RNDr. Markéta Lopatková, Ph.D. (st 12:20 S7), Mgr. Vojtěch Kaluža (po 17:20 T7) a (čt 15:40 S6 a pá 9:00 S8). Zápočet ze cvičení je nutný pro absolvování zkoušky.

Můžete se obrátit na tutora, kterého poskytuje Katedra matematické analýzy.

Literatura: Krom literatury uvedené v SISu doporučuji zejména využít zápisky z přednášek doc. Klazara, skripta prof. Pultra nebo skripta kolegů z KMA.

Zkouška: Zkouškové termíny jsou předběžně vypsány v SISu na 22.1., 5.2. a 15.2. (na první dva bude možno se přihlašovat od 5.1.). Pokud máte zájem o opravný termín v průběhu letního semestru (nebo letního zkouškového), kontaktujte mě individuálně. Upozorňuji, že ačkoli zápočet není podmínkou k přihlášení na zkoušku, je podmínkou k účasti na zkoušce. Požadavky ke zkoušce. Cvičné zadání zkouškové písemky.

Co bylo/bude na hodinách:

  • 5.10.: Zopakování logiky, množinového značení a typů důkazů. Definice funkce, prosté funkce a funkce na. Důkaz úplnou indukcí, že každé přirozené číslo větší než jedna má prvočíselného dělitele.
    Domácí úkoly: zopakovat/doučit se: výroky, kvantifikátory a negování (dobrý zdroj jsou skripta kolegů z KMA (strany 1-10), případně předmět Matematické dovednosti) . Naučit se definici funkce, prosté a na.
  • 12.10.: Důkaz iracionality odmocniny ze dvou. Důkaz Bernoulliovy nerovnosti. Definice částečného a lineárního uspořádání, horní a dolní závory, suprema a infima, omezenosti množiny. Neúplnost racionálních čísel - příklad množiny bez suprema. Axiomy algebraického tělesa.
    Domácí úkol: naučit se definici suprema a infima.
  • 19.10.: Uspořádanost a úplnost tělesa reálných čísel. Spočetné a nespočetné množiny, spočetnost množiny racionálních čísel, nespočetnost reálných čísel. Definice posloupnosti, vlastní a nevlastní limity, monotonie a omezenosti posloupnosti.
    Domácí úkol: naučit se definici limity.
  • 26.10.: Jednoznačnost limity. Věta o aritmetice limit. Věta o limitě vybrané posloupnosti. Věta o násobení limitní nulou. Věta o limitě a uspořádání. Věta o dvou policajtech.
  • 2.11.:Každá posloupnost obsahuje monotónní podposloupnost. Bolzano-Weierstrassova věta. Cauchyho podmínka a věta o ní. Definice hromadných bodů, limes inferior a limes superior.
  • 9.11.: Ekvivalentní definice lim inf a lim sup. Posloupnost má limitu právě tehdy, když jsou si lim inf a lim sup rovny. Definice řady a jejího součtu. Příklady: geometrická řada, harmonická řada, zeta funkce, řada s konstantně nenulovými prvky. Nutná podmínka konvergence řady. Cauchyho podmínka pro řady. Lineární kombinace řad. Srovnávací kritérium (důkaz bude příště).
    Domácí úkol: naučit se definici konvergence řady.
  • 16.11: Důkaz srovnávacího kritéria. Odmocninové a podílové kritérium. Absolutní konvergence řady. Absolutní konvergence implikuje konvergenci. Leibnizovo (důkaz příště), Abelovo a Dirichletovo kritérium konvergence - bez důkazu.
  • 23.11: Přednáška odpadá - Den otevřených dveří.
  • 30.11.: Důkaz Leibnizova kritéria. Cauchyovo kondenzační kritérium. Přerovnávání řad - Riemannova věta (náznak důkazu) a věta, že součet AK řady se přerovnáním nezmění. Absolutně konvergentní řady s libovolnou spočetnou množinou indexů a násobení absolutně konv. řad.
  • 7.12.: (Přednášel J. Hančl.) Definice exponenciály a její vlastnosti. Definice logaritmu, sinu a cosinu. Definice různých okolí a limity funkce v bodě.
  • 14.12.: Přednáška odpadla. Samostudium z poznámek doc. Klazara: Co nebylo předchozí přednášku z tohoto textu a první dvě strany tohoto textu (věta o limitě složeného zobrazení a Darbouxova věta).
  • 21.12: Věta o extrémech spojité funkce na kompaktním intervalu. Inverzní funkce. Spojité funkce a operace zachovávající spojitost. Definice derivace, příklady. Derivace a spojitost.
  • 4.1.: Aritmetika derivací, důkaz Leibnizovy formule. Derivace složené a inverzní funkce. Definice lokálního extrému a nutná podmínka jeho existence (s důkazem). Věty o střední hodnotě, důkaz Rolleovy věty. L'Hospitalovo pravidlo. Věta o limitě derivace. Věta o derivaci a monotonii (důkaz). Derivace vyšších řádů, definice konvexity a konkavity.
  • 11.1.: Konvexní funkce má jednostranné derivace a je spojitá (bez důkazu). Vztah konvexity a druhé derivace. Definice inflexního bodu, nutná a postačující podmínka inflexe (bez důkazu). Taylorův polynom - definice, charakterizace (důkaz), obecný tvar zbytku (bez důkazu), Lagrangeův a Cauchyův tvar zbytku. Taylorova řada.