Matematická analýza II pro informatiky (NMAI055)

Informace společné pro obě paralelky

Organizace zkoušky

Termíny jsou vypsány v SISu.
U početních příkladů se hodnotí nejen správnost výsledku, ale i postup, který k němu vedl, zdůvodnění kroků, které je potřeba zdůvodňovat, atd.
Do bodového zisku se počı́tá lépe hodnocený přı́klad z 5L, 5T (důkazy vět). Tj., můžete si vybrat, jestli chcete spíše lehčí nebo těžší verzi. Pokud odevzdáte obě, bude se počítat lépe hodnocená varianta.
Pro složenı́ zkoušky je nutné mı́t správně odpovězenu otázku 4 (definice) a získat alespoň 60% ze zvoleného přı́kladu 5 (důkaz). (Pro konkrétnost: aspoň 60% bodů z příkladu 5L, nebo aspoň 60% bodů z příkladu 5T.) Neboli: důkaz může mı́t drobné závady, ale musı́ být jasná základnı́ myšlenka a podstatné kroky v důkazu.
K písemce nelze používat žádné pomůcky, literaturu, ani počítadla. Mobilům prosím předem vypněte zvonění a bezpečně je uložte. K dispozici budete mít tabulku základních primitivních funkcí.
Ke zkoušce si přineste průkazku s fotografií a vaším jménem.
Před odchodem z místnosti (např. na toaletu) je potřeba odevzdat řešení příkladu č. 4 (definice).
Z bodového součtu písemky se stanoví předběžná známka. Bodové limity mohou být drobně upraveny podle obtížnosti písemky, orientačně: 1: od 30 bodů; 2: od 25 bodů; 3: od 20 bodů; 4: od 15 bodů.
Tuto známku je možno vylepšit (obvykle nejvýše o stupeň) při ústním zkoušení. To může následovat po vyhlášení výsledků písemky, případně později.
Výsledky písemky budou uveřejněny na této webové stránce a také ústně po skončení opravování. Budeme se snažit, aby to bylo nejpozději druhý den po zkoušce.
K ústnímu zkoušení však nelze postoupit, pokud nemáte správně vyřešenu úlohu č. 4 (definice), ani pokud máte z písemky méně bodů než na známku 4 (tj. cca 15 bodů).
Předchozí bod neplatí, pokud se jedná o váš třetí pokus o složení zkoušky.
Zkoušející Dušan Pokorný nebude přítomen na termínu 1.6., Robert Šámal nebude přítomen 8.6.. Pokud budete chtít ústně vyzkoušet při tomto zkušebním termínu, tak se ústní část přesouvá na později.

Vzorová písemka

Můžete si prohlédnout vzorovou písemku

Seznam definic a vět, které budou zkoušeny

Ke složení zkoušky potřebujete umět jednu ze dvou zadaných vět vyslovit a dokázat. Dále prokázat bezpečnou znalost zadané definice. Seznam se týká písemky, tam jiné věty ani definice nebudete potřebovat. V ústní části mohou být zkoušeny i ostatní věty či definice, které byly ve vaší paralelce odpředneseny.

Těžké věty

Taylorův polynom s Lagrangeovým tvarem zbytku
1. o substituci při výpočtu prim. funkce
2. o substituci při výpočtu prim. funkce
kritérium existence R. integrálu
o vztahu spojitosti a Riemannovské integrovatelnosti
o derivaci integrálu podle horní meze
o vztahu spojitosti a existence primitivní funkce
o přírůstku funkce více proměnných
~~spojitost parc.derivací a tot.diferenciál~~ (vynecháno, letos nebyl důkaz -- znění byste ale měli znát)
o implicitní funkci (stačí případ $m=n=1$, není třeba dokazovat existenci derivací)
Lagrangeova věta o vázaných extrémech (stačí pro jednu vazebnou podmínku a funkce definované na $\mathbb{R}^2$)
charakterizace uzavřených množin (stačí jedna implikace)
kvádr v $\mathbb{R}^n$ je kompaktní
nabývání extrémů na kompaktu

Lehké věty

Taylorův polynom -- věta o limitě $\frac{f(x) - T(x)}{(x-a)^n}$
Rolleova věta
Lagrangeova věta o střední hodnotě
o jednoznačnosti primitivní funkce až na konstantu
linearita primitivní funkce
integrace per partes
o zjemnění dělení
o dvou děleních
vztah monotonie a Riemannovské integrovatelnosti
nutná podmínka existence extrému funkce více proměnných
~~parc.derivace a spojitost~~ (vynecháno, letos na přednášce nebylo)
o tvaru totálního diferenciálu
tot.diferenciál a spojitost
vlastnosti otevřených množin
konvergence a metrika

Klíčové definice

Jejich spolehlivá znalost je nutná pro složení zkoušky z MA (a taky pro dlouhodobé udržení a použití získaných znalostí).

Taylorův polynom pro reálnou funkci
primitivní funkce
dělení intervalu, horní a dolní součet
horní a dolní Riemannův integrál
Newtonův integrál
limita zobrazení z $\mathbb{R}^m$ do $\mathbb{R}^n$
parciální derivace
totální diferenciál a gradient funkce
metrický prostor
otevřená/uzavřená množina v metrickém prostoru
uzávěr, vnitřek a hranice množiny
konvergentní posloupnost bodů v metrickém prostoru
kompaktní množina v metrickém prostoru
spojitost funkce mezi metrickými prostory

Při ústním může dojít řeč i na další definované pojmy:

racionální funkce
zjemnění dělení
norma dělení
stejnoměrně spojitá funkce
délka křivky
otevřená/uzavřená množina v $\mathbb{R}^n$
druhá parciální derivace
derivace funkce ve směru
otevřená/uzavřená koule v metrickém prostoru