Matematická analýza II pro informatiky (NMAI055)

Paralelka Y, vyučující Robert Šámal

písemka 8.6.2016

výsledky. Na ústním se každý (kdo má zájem a body) domluví se svým přednášejícím.

písemka 14.6.2016

výsledky. 15.6. od 13 v S6 bude možno si písemky prohlédnout a případně se nechat vyzkoušet ústně. (Od 14 pokračujeme v S3.) Ústní v pozdější termín je také možné, ideálně další středu (22.6.) od 14 hodin.

písemka 21.6.2016

výsledky. Výsledky zkoušky se zde objeví dnes odpoledne, to bude také možné si písemky osobně (na MS) prohlédnout a v případě zájmu se nechat vyzkoušet. (Ústní v pozdější termín je také možné, pro paralelku Y v úterý 28.6.)
Čas vyhlášení výsledků: 22.6.2016 v 15:00 v S8.

písemka 21.6.2016

výsledky. Chcete-li či musíte-li k ústnímu, domluvte se se svým přednášejícím (resp. sledujte SIS). Za moji paralelku bude ústní ve čtvrtek 29.9. ve 12:20 v mé pracovně (MS, pracovna 323). Pokud nechcete k ústnímu, jen si prohlédnout písemku, tak můžete taky (ve stejný termín).

Sylabus přednášky

najdete v SISu.

Literatura

V knihovně i v prodejně skript najdete mnoho knih a skript k tématu, v SISu najdete seznam doporučených knih.
Žádná kniha ale neodpovídá probírané látce přesně. Můžete se podívat na Přehled probrané látky: nenajdete tam všechny detaily (např. chybí většina důkazů), ale zato by zde mělo být přesně to, co bylo odpředneseno. Navíc (zatím) odpovídá odpřednesené látce v minulém vydání přednášky, budu (snad) průběžně upravovat.
Na stránce kol. Klazara můžete též najít jeho skripta k této přednášce, ovšem pozor: v době, kdy byla skripta psána měla přednáška dvojnásobný rozsah, proto budeme některé věci probírat trochu stručněji a jinak.
Václav Končický -- jeden z posluchačů přednášky -- vytváří pěkné elektronické poznámky k přednášce.
Může se vám hodit tabulka s derivacemi všech elementárních funkcí.
Hezké sbírky na webu: sbírka pana Pyriha sbírka pana Picka.

Cvičení

Zisk zápočtu ze cvičení je nutnou podmínkou pro účast na zkoušce. Navíc, aktivní účast na cvičení vám výrazně usnadní skládání zkoušky. Podmínky k získání zápočtu vám sdělí příslušný cvičící.

Co se dělo na přednáškách

1. přednáška 26.2.2016

Dodatky k zimnímu semestru: aplikace průběhu funkcí - Jensenova a AG nerovnost. Rolleova věta, Lagrangeova věta o střední hodnotě. Důsledky: vztah derivace a monotonie. Taylorův polynom $T_n^{f,a}$ -- Peanův tvar zbytku, zatím bez důkazu. Značení $f=o(g)$. Pro ilustraci použití Taylorova polynomu se můžete podívat třeba na to, jak se počítá funkce sinus. (Pozor, jiné implementace mohou používat jiné triky, pro jiné funkce -- třeba exponenciálu -- se místo Taylorova polynomu používá vhodná racionální funkce, tj. podíl dvou polynomů.)

2. přednáška 4.3.2016

Ještě k průběhům: Důkaz Peánova tvaru zbytku. Taylorův polynom s Lagrangeovým tvarem zbytku (znění, aplikace, důkaz). Zobecněná Rolleova věta. Integrály: motivace. Primitivní funkce - definice, Jak je primitivní funkce počítat: linearita, per-partes, 1. věta o substituci. Může se vám hodit tabulka primitivních funkcí..

3. přednáška 11.3.2016

2. věta o substituci, důkaz, a ukázka použítí (1. i 2.). Fakta o polynomech -- rozklad na kořenové činitele atd. Rozklad na parciální zlomky: znění v obecném případě, důkaz jen pro jmenovatel, který má navzájem různé reálné kořeny.

4. přednáška 18.3.2016

Integrace racionálních funkcí a funkcí, které se na ně dají převést typovou substitucí. Určitý integrál a věty pro něj (per partes a substituce). Zavedení nových funkcí pomocí integrálu (erf).

5. přednáška 1.4.2016

Riemannův integrál: Motivace, definice, základní vlastnosti.

6. přednáška 8.4.2016

Riemannův integrál -- existence pro spoj. fce, souvislost s primitivními funkcemi. Aplikace!

7. přednáška 15.4.2016

Dodělávky k integrálu: integrální kritérium konvergence řad. Per-partes na $\int_0^{\pi/2} \sin^n x$ a Wallisova formule pro $\pi$.
Funkce více proměnných: připomenutí norem. Ekvivalence norem $\|x\|_\infty$ a $\|x\|_p$ v ${\mathbb R}^d$. Konvergence posloupností -- definice a jednoduché vlastnosti. Limita zobrazení -- definice, příklady.

8. přednáška 22.4.2016

Parciální derivace. Nutná podmínka pro extrém (s důkazem). Možnosti chování funkce v bodě s nulovými parciálními derivacemi. Postačující podmínka pro extrém (bez důkazu). Hessova matice.

9. přednáška 29.4.2016

Spojitá funkce na kompaktu. Totální diferenciál: motivace, definice, souvislost s "jinými derivacemi" (Jacobiho matice).

10. přednáška 6.5.2016

Použití tot.dif. na výpočet $1.1^{0.9}$. Chování totálního diferenciálu pro součet, součin, podíl (součin a podíl jen pro zobrazení do reálných čísel). Tot. diferenciál složeného zobrazení! (Dk. s drobným omezením: vnitřní zobrazení $g$ na okolí bodu $a$ nenabývá hodnoty $g(a)$.) Důsledek: řetízkové pravidlo pro derivování složeného zobrazení. (Použití: derivování funkce $t^t$ pomocí zobrazení $x^y$.) Důsledek: věta o přírůstku pro funkci více proměnných. Gradient a jeho geometrický význam (směr největšího přírůstku, normála ke grafu).
Trochu delší čtení, kde je k vidění aplikace parciálních derivací a spol. na mimořádně zajímavé problémy.

11. přednáška 13.5.2016

Zmínka o numerické metodě hledání minima: gradient descent method/metoda největšího klesání. Věta o implicitním zobrazení -- důkaz jen pro $n=1$ (implicitní funkce), nedokazovali jsme existenci derivací. Vázané extrémy -- motivace, znění, důkaz pro $k=1$ (jednu vazebnou podmínku), jednoduchý příklad.

12. přednáška 20.5.2016

Taylorův polynom pro více proměnných (znění, důsledek pro postačující podmínku na extrémy, náznak důkazu). Metrické prostory -- základní definice a vlastnosti (metrika, ot. a uz. množiny, jejich průniky a sjednocení, konvergence, uzávěr, vnitřek a hranice).

13. přednáška 27.5.2016

Metrické prostory: ekvivantní metriky, char.uzavřených množin. Spoj. fce (klasická definice a ekvivalentní přes vzory otevřených množin). Kompaktnost! Defce, užití, charakterizace (v eukleidovských prostorech).