Matematická analýza I pro informatiky (NMAI054)
Informace společné pro obě paralelky
Organizace zkoušky
- Termíny jsou vypsány v SISu.
- U početních příkladů se hodnotí nejen správnost výsledku, ale i postup, který k němu vedl, zdůvodnění kroků, které je potřeba
zdůvodňovat, atd.
- Do bodového zisku se počı́tá lépe hodnocený přı́klad z 5L, 5T (důkazy vět). Tj., můžete si vybrat, jestli chcete spíše
lehčí nebo těžší verzi.
- Pro složenı́ zkoušky je nutné mı́t správně odpovězenu otázku 4 (definice) a alespoň 60%
ze zvoleného přı́kladu 5 (důkaz) – tj. důkaz může mı́t drobné závady, ale musı́ být jasná
základnı́ myšlenka a podstatné kroky v důkazu.
- K písemce nelze používat žádné pomůcky, literaturu, ani počítadla. Mobilům prosím předem vypněte zvonění a
bezpečně je uložte.
K dispozici budete mít tabulku derivací elementárních funkcí.
- Ke zkoušce si přineste průkazku s fotografií a vaším jménem.
- Před odchodem z místnosti (např. na toaletu) je potřeba odevzdat řešení příkladu č. 4 (definice).
- Z bodového součtu písemky se stanoví předběžná známka. Bodové limity mohou být drobně upraveny
podle obtížnosti písemky, orientačně: 1: od 30 bodů; 2: od 25 bodů; 3: od 20 bodů; 4: od 15 bodů.
- Tuto známku je možno vylepšit (obvykle nejvýše o stupeň) při ústním zkoušení. To může následovat odpoledne po
vyhlášení výsledků písemky, případně později.
- Výsledky písemky budou uveřejněny na této webové stránce a také ústně po skončení opravování. Budeme se snažit, aby to bylo
nejpozději v 15-16 hodin v den zkoušky.
- K ústnímu zkoušení však nelze postoupit, pokud nemáte správně vyřešenu úlohu č. 4 (definice), ani pokud máte z písemky méně bodů
než na známku 4 (tj. cca 15 bodů).
- Předchozí bod neplatí, pokud se jedná o váš třetí pokus o složení zkoušky.
Vzorová písemka
Seznam definic a vět, které budou zkoušeny
Ke složení zkoušky potřebujete umět jednu ze dvou zadaných vět vyslovit a dokázat.
Dále prokázat bezpečnou znalost zadané definice.
Seznam se týká písemky, tam jiné věty ani definice nebudete potřebovat.
V ústní části mohou být zkoušeny i ostatní věty či definice, které byly ve vaší paralelce odpředneseny.
Těžké věty
- aritmetika limit posloupností (jen vlastní limity, součet a součin).
- Bolzano-Weierstrassova
- Bolzano-Cauchyho podmínka pro posloupnosti
- Heineho věta
- o aritmetice limit funkcí
- limita složené funkce (stačí jedna varianta)
- vlastnosti exponenciály
- Darbouxova vlastnost spojité funkce
- nabývání extrémů spojité funkce
Lehké věty
- iracionalita $\sqrt 2$
- Cantorova
- o existenci infima
- Archimédova vlastnost
- hustota $\mathbb{Q}$ a $\mathbb{R\setminus Q}$
- trojúhelníková nerovnost
- jednoznačnost vlastní limity posloupnosti
- omezenost konvergentní posloupnosti
- o limitě vybrané posloupnosti
- limita a uspořádání
- o dvou strážnících
- aritmetika limit pro nevlastní limity, typ $\infty + \infty$
- o limitě monotónní posloupnosti
- nutná podmínka konvergence řady
- linearita řad
- srovnávací kritérium konvergence řad
- limitní srovnávací kritérium konvergence řad
- Cauchyovo odmocninové kritérium konvergence řad
- vztah konvergence a absolutní konvergence
- o jednoznačnosti limity funkce
- limita funkce a omezenost
- vztah derivace a spojitosti
- derivace a limita derivace
- Fermatova věta
- tvar asymptoty
Klíčové definice
Jejich spolehlivá znalost je nutná pro složení zkoušky z MA (a taky pro dlouhodobé udržení a použití získaných znalostí).
- supremum, infimum
- zdola omezená, shora omezená nebo omezená množina
- limita posloupnosti (vlastní i nevlastní)
- vybraná posloupnost
- konvergentní, divergentní posloupnost
- rozšířená reálná osa
- limes superior, limes inferior
- částečný součet řady
- konvergentní (divergentní) řada
- absolutně konvergentní řada
- okolí (včetně nevlastních bodů), jednostranná a prstencová okolí
- (vlastní i navlastní) limita funkce včetně jednostranných ve vlastním i nevlastním bodě
- spojitost funkce v bodě (i jednostranná)
- spojitost funkce na intervalu
- extrémy funkce (všechny typy)
- derivace funkce v bodě
- druhá derivace funkce v bodě
- inflexní bod
- funkce konvexní a konkávní
- asymptota funkce