Matematická analýza I pro informatiky (NMAI054)

Paralelka Y, vyučující Robert Šámal

Zkouška

informace na zvláštní stránce

písemka 11.3.2016: Poslední termín před březnovou kontrolou splnění studijních povinností!!!
písemka 27.1.2016: Kdo má známku jasnou, nebo už byl u ústního po vyhlášení písemky má známku zapsanou v SISu. Ostatní se příhlašte v SISu na ústní. Tento týden (a patrně i ty další) je možnost ve čtvrtek dopoledne. Pokud by vám to vyloženě nevyhovovalo, ozvěte se mailem. Abyste věděli, co čekat: výsledky. Pokud u svěho jména nemáte vykřičník a stačí vám známka, která vám z písemky vychází, stačí napsat email. (Ale můžete i tak si přijít pro písemku na nějaký zkoušecí termín, abyste viděli, co vám nevyšlo.) Studenti z paralelky X se obrátí na svého přednášejícího.
písemka 3.2.2016: Kdo má známku jasnou, nebo už byl u ústního po vyhlášení písemky má známku zapsanou v SISu. Ostatní se příhlašte v SISu na ústní. Tento týden (a patrně i ty další) je možnost ve čtvrtek dopoledne. Pokud by vám to vyloženě nevyhovovalo, ozvěte se mailem. Abyste věděli, co čekat: výsledky. Pokud u svěho jména nemáte vykřičník a stačí vám známka, která vám z písemky vychází, stačí napsat email. (Ale můžete i tak si přijít pro písemku na nějaký zkoušecí termín, abyste viděli, co vám nevyšlo.) Studenti z paralelky X se obrátí na svého přednášejícího.
písemka 10.2.2016: Kdo má známku jasnou, nebo už byl u ústního po vyhlášení písemky má známku zapsanou v SISu. Ostatní se příhlašte v SISu na ústní. Tento týden (a patrně i ty další) je možnost ve čtvrtek, tentokrát odpoledne. Pokud by vám to vyloženě nevyhovovalo, ozvěte se mailem. Abyste věděli, co čekat: výsledky. Pokud u svěho jména nemáte vykřičník a stačí vám známka, která vám z písemky vychází, stačí napsat email. (Ale můžete i tak si přijít pro písemku na nějaký zkoušecí termín, abyste viděli, co vám nevyšlo.) Studenti z paralelky X se obrátí na svého přednášejícího.
písemka 17.2.2016: Kdo má známku jasnou, nebo už byl u ústního po vyhlášení písemky má známku zapsanou v SISu. Ostatní se příhlašte v SISu na ústní. Tento týden (a patrně i ty další) je možnost ve čtvrtek, tentokrát odpoledne. Pokud by vám to vyloženě nevyhovovalo, ozvěte se mailem. Abyste věděli, co čekat: výsledky. Pokud u svěho jména nemáte vykřičník a stačí vám známka, která vám z písemky vychází, stačí napsat email. (Ale můžete i tak si přijít pro písemku na nějaký zkoušecí termín, abyste viděli, co vám nevyšlo.) Zvláště doporučuji přijít se podívat na písemku, pokud jste ji nenapsali, ze svých chyb se člověk nejlépe poučí. Do kontroly studijních povinností (tj. do konce března) může být ještě jeden termín, pokud bude poptávka (napište). Studenti z paralelky X se obrátí na svého přednášejícího.
poslední písemka: bude 27.9. od 10:00 v S5.

Sylabus přednášky: najdete v SISu.
Literatura: V knihovně i v prodejně skript najdete mnoho knih a skript k tématu, v SISu najdete seznam doporučených knih.
Žádná kniha ale neodpovídá probírané látce přesně. Můžete se podívat na Přehled probrané látky: nenajdete tam všechny detaily (např. chybí většina důkazů), ale zato by zde mělo být přesně to, co bylo odpředneseno. Navíc (zatím) odpovídá odpřednesené látce v minulém vydání přednášky, budu průběžně upravovat. Pro ilustraci se také můžete kouknou na stránku druhé paralelky (ale jejich látku ke zkoušce umět nemusíte, pokud by se našly odlišnosti).
Na stránce kol. Klazara můžete též najít jeho skripta k této přednášce, ovšem pozor: v době, kdy byla skripta psána měla přednáška dvojnásobný rozsah, proto budeme některé věci probírat trochu stručněji a jinak.
Může se vám hodit tabulka s derivacemi všech elementárních funkcí.
Hezké sbírky na webu: sbírka pana Pyriha sbírka pana Picka.
Animované ztvárnění užitečnosti derivace. Kolegyně Krylová sepsala hezké poznámky o vyšetřování konvergence řad a průběhu funkcí.
Konzultační hodiny: Od 11 do 12 ve středu v mé pracovně (3.patro MS, místnost č. 323).
Cvičení: Zisk zápočtu ze cvičení je nutnou podmínkou pro účast na zkoušce. Navíc, aktivní účast na cvičení vám výrazně usnadní skládání zkoušky. Podmínky k získání zápočtu vám sdělí příslušný cvičící.
Těžké?: Pokud máte obtíže s matematickými "základy" (jak rozumět formálním zápisům, jak má vypadat důkaz, ...), může vám velmi prospět předmět Matematické dovednosti. Pokud se vaše potíže týkají přímo probírané látky (a ne obecně matematického jazyka), řešte je co nejdříve (samo se to nespraví ...). Poraďte se s kamarádem (to může být nejrychlejší), zeptejte se na cvičení, zeptejte se na příští přednášce (nebo hned po přednášce).

Co se dělo na přednáškách

1. přednáška 7.10.2015: Organizační poznámky (zápočty, zkoušky). Plán na zimní semestr (posloupnosti, řady, funkce). Záhadná posloupnost: $a_0=1$, $a_{n+1} = \frac{ a_n + 2/a_n}{2}$. Proč si dávat pozor: $1+2+4+8+\dots = -1$.
Jak vypadá důkaz: $\sqrt 2$ je iracionální (důkaz sporem). Bernoulliova nerovnost (důkaz matematickou indukcí). Reálných čísel je víc než přirozených.
K zamyšlení: pro která čísla $n$, $k$ umíte modifikací důkazu z přednášky dokázat, že $\root k \of n$ je iracionální? Co takhle součet několika odmocnin, např. čísla $\sqrt 2 + \sqrt 3$, nebo $\sqrt 2 + \sqrt 3 + \sqrt 5$ --- jsou taky iracionální?
2. přednáška 14.10.2015: Reálná čísla Říkali jsme si, jak $\mathbb{Z}$ (celá čísla) vznikne rozšířením $\mathbb{N}$ (přirozená čísla) tak, aby šlo odčítat, $\mathbb{Q}$ (rac. čísla) rozšířením $\mathbb{Z}$ tak, aby šlo dělit, a poté $\mathbb{R}$ vznikne rozšířením $\mathbb{Q}$ tak, aby šlo dělat supremum. Neboli, $\mathbb{R}$ je uspořádané těleso, kde každá neprázdná shora omezená množina má supremum. V $\mathbb{Q}$ toto neplatí! (Rozmyslete.)
Existence infima (pro neprázdné zdola omezené množiny) -- bez důkazu (cvič.). Důkaz Archimédovské vlastnosti reálných čísel. Důsledek: Hustota racionálních a iracionálních čísel (iracionální -- cvič.).
Jak přesně se rozšíří racionální čísla na reálná jsme si jen pro představu naznačili (pomocí Dedekindových řezů), podrobnější popis můžete najít v textíku od Pavla Klavíka.
3. přednáška 21.10.2015: Důkaz existence odmocniny.
Posloupnosti definice (posloupnost, omezená, monotónní a spol., limita) a základní vlastnosti: jednoznačnost limity, existence limity zaručuje omezenost. Věta o aritmetice limit (zatím bez důkazu).
není přednáška 28.10.2015 -- státní svátek
není přednáška 4.11.2015 -- imatrikulace
4. přednáška 11.11.2015: Věta o aritmetice limit -- důkaz. Limita geometrické posloupnosti a podílové kritérium pro konvergenci k nule. Limita a uspořádání + věta o strážnících. Nevlastní limity.
5. přednáška 18.11.2015: Limita monotónní posloupnosti a aplikace na rekurzivně zadané posloupnosti. Limita vybrané posloupnosti. Pokročilejší věty o limitách: Feketovo lemma (bez dk), Bolzano-Weierstrassova věta.
6. přednáška 25.11.2015: Bolzano-Cauchyho podmínka. Hromadné body, limes inferior a limes superior. Zápis pomocí $o()$, $O()$, $\Omega()$, $\Theta()$. Hierarchie posloupností -- logaritmicko-exponenciální funkce. Kvazipolynomiální funkce a jejich aktuální využití -- odhad časové složitosti grafového izomorfismu. (Pěkné video.) BC podmínka konvergence posloupnosti. Nové téma: Řady -- zejména s kladnými členy. Konkrétně: motivace, definice. Příklad: geometrická řada a řada harmonická ($\sum \frac 1n$). Nutná podmínka konvergence, linearita řady (dk jen pro násobení konstantou). Srovnávací kritérium. Cauchyovo (odmocninové) a d'Alambertovo (podílové) kritérium. (Poslední dvě zatím bez důkazu.) Zajímavý odkaz: součet řady $\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}$.
7. přednáška 2.12.2015: Dokončení řad: chybějící důkaz, limitní srovnávací kritérium. Bez důkazu kondenzační kritérium, odsud konvergence $\sum \frac{1}{n^\alpha}$ právě když $\alpha > 1$. Zároveň žádná takováto řada nelze rozhodnout pomocí podílového kritéria (to na přednášce nebylo, ale je to snadné), ani pomocí odmocninového kritéria (trochu těžší limita). Řady se střídavými znaménky, Leibnizovo kritérium, absolutní konvergence. Užitečnost absol.konvergentních řad: uzávorkování, přerovnání, násobení. Definice $\exp(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$ a odvození (některých) vlastností.
8. přednáška 9.12.2015: Vzorec $\lim_{n \to \infty} (1+1/n)^n = e$.
Nové téma: Funkce. Definice limity, ilustrace na příkladech. Vztah jednostranné limity a oboustranných. Jednoznačnost limity, omezenost funkce pokud má vlastní limitu. Heineho věta a její důsledek: Věta o aritmetice limit.
9. přednáška 16.12.2015: Tabulka základních limit: $\sin x/x$, $(1-\cos x)/x^2$, $(e^x-1)/x$, $\log (1+x)/x$, vše pro $x \to 0$. Spojitost funkce. Věta o limitě složených funkcí. Nové téma: Derivace a její aplikace: definice, motivace. Vlastní derivace implikuje spojitost. Věty o výpočtu derivace (součet, součin, podíl; složená funkce; inverzní funkce; a konečně výběr z elementárních funkcí). Pro referenci: tabulka s derivacemi všech elementárních funkcí (bude se vám hodit).
10. přednáška 6.1.2016: Informace o zkoušce. Využití derivací: l'Hospitalovo pravidlo, jednostranná derivace jako limita derivací. Dále vyšetřování průběhu: nutná podmínka pro extrém, monotonie (a odsud postačující podmínka pro extrém), tečna, konvexita, konkávita (a jak je pozdnat pomocí monotonie první, resp. znaménka druhé derivace), asymptoty.
11. přednáška 13.1.2016: Chování spojitých funkcí na intervalu (nabývání mezihodnot a nabývání extrémů), inverzní funkce ke spojité funkci je spojitá. Zavedení elementárních funkcí (exp s většinou důkazů, log a mocnina s některými důkazy, goniometrické jen obrázky).