Lineární algebra II (NMAI058)

Paralelka Y, vyučující Robert Šámal

Druhou paralelku X vede Milan Hladík, anglickou paralelku Z vede Zdeněk Dvořák.

Sylabus přednášky

Stručný v SISu. Doporučuji ale zejména podrobný sylabus od prof.Matouška, podle něj budeme postupovat. Pozor, sylabus je za oba semestry, v zimním probereme jen prvních 11 kapitolek. Taktéž se budeme volně držet skript M. Hladíka, viz odkaz níže.

Literatura

V knihovně i v prodejně skript najdete mnoho knih a skript k tématu, v SISu najdete seznam doporučených knih. Dále můžete použít následující elektronické zdroje (v různé fázi rozpracování):

lineární algebra (nejen) pro informatiky od M. Hladíka
Povídání o lineární algebře od P. Klavíka
Texty k jednotlivým přednáškám do J.Tůmy (pozor, v té době byl jiný sylabus, takže obsah úplně neodpovídá -- na druhou stranu jsou tam hezké rozšiřující aplikace).

Cvičení

Zisk zápočtu ze cvičení je nutnou podmínkou pro účast na zkoušce. Navíc, aktivní účast na cvičení vám výrazně usnadní skládání zkoušky. Podmínky k získání zápočtu vám sdělí příslušný cvičící.

Konzultační hodiny

podle dohody

Zkoušky

Jsou vypsány v SISu. Můžete se hlásit na termíny vypsané mnou i kol. Hladíkem. Pro jistotu, termíny jsou 28.5., 18.6., 25.6. (vše od 9 ráno) a 29.6. (ve 13h).

Co se dělo na přednáškách

1. přednáška 18.2.2015: Skalární součiny: základní vlastnosti.Cauchyho nerovnost, norma. Body 114-121 v sylabu.
2. přednáška 25.2.2015: Ortogonální a ortonormální systémy vektorů. Ortonormální báze a jak ji hledat (Gram-Schmidtova ortogonalizace). Ortog. doplněk (začátek). Body 122-124 v sylabu.
3. přednáška 4.3.2015: Ortog. doplněk a projekce. Obecné vlastnosti, vyjádření pomocí matic. Aplikace na přibližné řešení SLR. Body 125,126,128 v sylabu.
4. přednáška 11.3.2015: Ortogonální matice -- zobrazení, co zachovávají skalární součin. Determinanty (definice, změny po transpozici a přerovnání sloupců). Body 127, 129-133 v sylabu.
5. přednáška 18.3.2015: Determinanty: elementární úpravy, linearita, multiplikativita. Jak počítat pomocí Gaussovy eliminace, jak zjistit pomocí determinantu regularitu. Rozvoj determinantu podle řádku (důkaz zatím nedokončen). Body 134-136, 139, 140.
6. přednáška 25.3.2015: Dokončení determinantů: adjungovaná matice, vzorec pro inverzní matici a pro řešení soustavy LR. Objem pomocí determinantu. Úvod do vlastních čísel (motivace, definice, test pomocí determinantu). Body 137, 141-145, 149, 152, 159 (část).
7. přednáška 1.4.2015: Vlastní čísla, char.polynom. Geom. a alg. násobnost vl.čísla. Souvislosti s operacemi na matici, s determinantem a stopou matice. Cayley-Hamiltonova věta. Body 153,159,162,164.
8. přednáška 8.4.2015: Důsledky Cayley-Hamiltonovy věty (Krylovovy metody). Diagonalizace -- hledání vhodné báze pro lineární zobrazení. Podobné matice, souvislosti s vlastními vektory a vlastními čísly. Matice s bází z vlastních vektorů je diagonalizovatelná. Aplikace na hledání mocnin matice. Speciálně vzorece pro výpočet Fibonacciho čísel. Body 145-149,151,155,156,157,160.
9. přednáška 15.4.2015: Jordanova normální forma. Symetrické matice a jejich vlastní čísla. Body 158,166,167,173,174.
10. a 11. přednáška 22.4.2015: Dokončení vlastních čísel: Ještě Courant-Fischerova věta. Pro zmíněné aplikace pro počty hran v grafu se můžete podívat do nedávného blogu nebo do staršího matematického článku. Perronova věta (bez dk), aplikace na Markovovy řetězce, Gershgorinovy disky, výpočet vlastních čísel mocninnou metodou, aplikace na PageRank. Positivně definitní (a semidefinitní matice): definice, motivace, charakterizace. Rekurzivní metoda výpočtu. Choleského rozklad: zatím bez důkazu existence, zato s algoritmem na hledání. Aplikace na řešení SLR a invertování (PD) matice. Body 158,175-177,179.
12. přednáška 29.4.2015: Dokončení positivně (semi)definitních matic: důkaz Choleského rozkladu, aplikace. Bilineární a kvadratické formy -- motivace, definice. Matice a vyjádření hodnoty formy pomocí matice. Sylvestrův zákon setrvačnosti (bez důkazu). Body v sylabu: 178 (ale to je v min.sylabu špatně!!), 180, 181, varianta 182, 185, 187, 191.
13. přednáška 20.5.2015: Dokončení bilineárních a kvadratických forem -- přechod k jiné bázi, Sylvestrův zákon setrvačnosti (s důkazem), důsledky a aplikace. Body v sylabu: ...