Matematická analýza II pro informatiky (NMAI055)

Paralelka X, vyučující Robert Šámal

!!!Aktuality!!!

Drobné úpravy v zápiscích s přednášky a také v požadavcích ke zkoušce (důkaz věty 8.7 se nezkouší, byl ho na přednášce jenom kousek).
Termíny pro písemku jsou vypsány v SISu, přihlašte se.
V podmínkách pro zkoušku (níže) jsem provedl pár úprav: vynechal věci, které tam byly omylem, a také uvedl, že u dvou vět, které byly na přednášce dokázány, se důkaz nezkouší: Taylor pro více proměnných a rozklad na parciální zlomky. (Znění byste ale stejně měli znát.)
Termíny pro ústní část přibývají postupně podle potřeby, vždy několik dní po písemce.
Připomínám: zápočet není potřebný pro přihlášení, ale v den písemky ho už musíte mít.
Finální verze stručných zápisků. Pokud objevíte nějakou chybu, napište mi prosím. Taktéž napište, pokud vám bude připadat, že se zápisky podstatně odlišují od přednášky (třeba obsahují větu, která nebyla přednesena).
Finální verze informací o zkoušce, včetně vzorového zadání a seznamu zkoušených vět. Ten odpovídá výše uvedeným zápiskům; zkouší se, co bylo předneseno.
Ústní budou vždy v dnech následujících po písemce, v počtu podle toho, kolik lidí se úspěšně zhostí písemky. S výjimkou 16.-20.6., kdy nejsem v Praze.
Pokud nemůžete na ústní ten týden, kdy se psala písemka, můžete přijít v dalších týdnech (ale neodkládejte to zbytečně).
Poslední termín bude koncem září (ale raději zkuste zkoušku složit už v červnu ...).
Výsledky písemky 19.5. Výsledky písemky 27.5. Výsledky písemky 3.6. Výsledky písemky 10.6. Výsledky písemky 18.6. Výsledky písemky 10.9. Výsledky písemky 24.9.

Sylabus přednášky

najdete v SISu.

Literatura

V knihovně i v prodejně skript najdete mnoho knih a skript k tématu, v SISu najdete seznam doporučených knih.
Žádná kniha ale neodpovídá probírané látce přesně. Na této stránce budu průběžně uvádět co bylo probráno: Jednak formou stručného přehledu na konci této stránky, jednak jako stručné zápisky -- prosím o upozornění na chyby! (Zatím je zde verze z minulých let, v průběhu semestru se bude mírně upravovat.)
Na stránce kol. Klazara můžete též najít jeho skripta k této přednášce, ovšem pozor: v době, kdy byla skripta psána měla přednáška jiný sylabus.
Hezké sbírky na webu: sbírka pana Pyriha sbírka pana Picka.
Můžou se vám hodit matematické taháky pana Rokyty, zejména pak tabulka primitivních funkcí..

Cvičení

Zisk zápočtu ze cvičení je nutnou podmínkou pro účast na zkoušce. Navíc, aktivní účast na cvičení vám výrazně usnadní skládání zkoušky. Podmínky k získání zápočtu vám sdělí příslušný cvičící.

Zkouška

Zkouška bude písemná (příklady) a ústní (teorie) -- jako v zimním semestru. Zkuste si ukázkovou písemku.

Co se dělo na přednáškách

1. přednáška 21.2.2014

Dodatky k zimnímu semestru: aplikace průběhu funkcí - Jensenova a AG nerovnost. Značení $f=o(g)$, $f=O(g)$. Taylorův polynom $T_n^{f,a}$ -- Peanův tvar zbytku i s důkazem. Lagrangeův tvar zbytku. Pro ilustraci použití Taylorova polynomu se můžete podívat třeba na to, jak se počítá funkce sinus. (Pozor, jiné implementace mohou používat jiné triky, pro jiné funkce -- třeba exponenciálu -- se místo Taylorova polynomu používá vhodná racionální funkce, tj. podíl dvou polynomů.)

2. přednáška 28.2.2014

Ještě k průběhům: Rolleova věta, Lagrangeova věta o střední hodnotě. Důsledky: vztah derivace a monotonie. Taylorův polynom s Lagrangeovým tvarem zbytku. Integrály: motivace. Primitivní funkce - definice, máme jednu $\implies$ máme všechny, kdy existují a kdy ne. Někdy primitivní funkce existuje, ale nelze ji vyjádřit vzorcem pomocí jiných. Pak můžeme zavést "novou funkci" -- např. ve statistice se často používá tzv. chybová funkce, což je $\frac 2{\sqrt \pi} \int_0^x e^{-x^2} dx$. Jak je primitivní funkce počítat: linearita, dvě věty o substituci a per-partes.

3. přednáška 7.3.2014

Rozklad na parciální zlomky a jejich integrace. Převod některých typů integrálů na integrování racionální funkce. Pro zájemce: obecné řešení problému hledání primitivní funkce (vždy když to lze). Určitý Newtonův integrál (definice).

4. přednáška 14.3.2014

Integrál $\int \frac 1{(x^2+1)^n}$. Věty pro zacházení s určitým integrálem. Ukázka: $\int (\sin x)^n$ a z toho plynoucí formule pro $\pi$. Riemannův integrál: definice, základní vlastnosti dělení a horních/dolních součtů. Kritérium konvergence.

5. přednáška 21.3.2014

Vlastnosti Riemannova integrálu: monotonie, linearita, mnoho dalších jako poznámky. Riemannův integrál existuje pro monotónní a spojité funkce. Definice stejnoměrné spojitosti.

6. přednáška 28.3.2014

Základní věta analýzy, Newtonův integrál. Aplikace integrálů: plocha, délka, povrch, odhady sum, integrální kritérium konvergence řad, definování funkcí.

7. přednáška 28.3.2014

Aplikace integrálů: příklady. Funkce více proměnných: úvodní definice. Parciální derivace. Nutná podmínka pro extrém. Možnosti chování funkce v bodě s nulovými parciálními derivacemi. Příští týden není přednáška (je místo ní KG).

8. přednáška 11.4.2014

Druhé derivace, jejich zaměnitelnost. Postačující podmínka pro lok.extrém pomocí druhých derivací. Zobrazení z $\mathbb{R}^n$ do $\mathbb{R}^k$, jejich limity a parc.derivace. Věta o přírůstku fcí více proměnných.

9. přednáška 18.4.2014

Totální diferenciál -- definice, aplikace na aproximaci funkce v blízkosti "hezkého bodu". Vyjádření pomocí parciálních derivací. Tot.dif. existuje, pokud jsou spojité parc. derivace, a další vlastnosti.

10. přednáška 25.4.2014

Geometrický význam tot.diferenciálu -- gradient, směr největšího přírůstku, tečná nadrovina. Jak počítat s diferenciálem. Diferenciál složeného zobrazení a řetízkové pravidlo (derivace $x^x$ coby zobrazení složeného z $x \mapsto (x,x)$ a $(a,b) \mapsto a^b$). Věta o implicitní funkci.

11. přednáška 2.5.2014

Věta o inverzní funkci. Jak vypadá Taylorův polynom pro více proměnných a jak z něj (pro N=2) plyne postačující podmínka pro lokální extrém.

12. přednáška 9.5.2014

Vázané extrémy (věta o Lagrangeových multiplikátorech) -- ilustrace, věta, důkaz, příklady. Spojitá funkce na uzavřené omezené množině nabývá (globálního) maxima a minima. (Zatím bez důkazu.)

13.+14. přednáška 15.5.2014

Metrické prostory. Motivace - tři různé vzdálenosti pro body v rovině. Definice metrického prostoru, otevřené a uzavřené množiny. Věta o vlastnostech otevřených množin. Vlastnosti uzavřených množin, konvergence posloupností, charakterizace uz. množin coby množin, ze kterých nejde vykonvergovat. Spojitá zobrazení -- různé definice a vlastnosti. Podprostory. Kompaktní množiny. Charakterizace kompaktních množin v $\mathbb{R}^n$. Nabývání extrémů na kompaktních množinach.