Matematická analýza I pro informatiky (NMAI054)

Paralelka X, vyučující Robert Šámal



Aktuální
V úterý 14.1.2014 od 13:00 hromadná konzultace (v S5) aneb nepovinná závěrečná přednáška. Plánovaný program: shrnutí toho, co jsme celý semestr dělali. Příklad řešení příkladů. Přehled elementárních funkcí (arcsin, ...) a jejich vlasností. Atd., podle zájmu.

Byl přidán aktuální a finální Přehled probrané látky.

Byl přidán seznam požadavků ke zkoušce. Nebudu zkoušet důkaz Věty o n-té odmocnině a Heineho věty. Pozor, znění stejně můžete potřebovat (buď se na něj přímo zeptám, nebo je budete potřebovat k důkazu jiné věty).

Výsledky písemky 15.1.2014 Kdo budete skládat ústní část u mě, zapište se v SISu. Kdo u doc. Rataje: "muzete prijit na ustni zkousku v pondeli 20.1. nebo v utery 21.1., vzdy v 10 hodin do seminarni mistnosti MUUK v Karline, 3. patro. Pokud jste u pisemky neuspeli, muzete si prijit prohlednout opravenou pisemku".

Výsledky písemky 20.1.2014 Zapište se do SISu na ústní (máte-li aspoň 25 bodů).

Výsledky písemky 29.1.2014 K ústní části se zapište do SISu u svého přednášejícího. Pokud jste u písemky neuspěli, můžete si přijít prohlédnout opravenou písemku.

Dodatečné termíny písemné zkoušky budou ještě dva další termíny písemky: v pátek 7.3.2014 ve 13:00 na Malé Straně a pak někdy ke konci září.

Výsledky písemky 3.2.2014 K ústní části se zapište do SISu u svého přednášejícího. Pokud jste u písemky neuspěli, můžete si přijít prohlédnout opravenou písemku.

Výsledky písemky 7.3.2014 K ústní části se zapište do SISu u svého přednášejícího. Pokud jste u písemky neuspěli, můžete si přijít prohlédnout opravenou písemku.

Výsledky písemky 10.9.2014 K ústní části se zapište do SISu u svého přednášejícího. Pokud jste u písemky neuspěli, můžete si přijít prohlédnout opravenou písemku.
Sylabus přednášky
najdete v SISu.
Literatura
V knihovně i v prodejně skript najdete mnoho knih a skript k tématu, v SISu najdete seznam doporučených knih.
Žádná kniha ale neodpovídá probírané látce přesně. Můžete se podívat na Přehled probrané látky: nenajdete tam všechny detaily (např. chybí většina důkazů), ale zato by zde mělo být přesně to, co bylo odpředneseno.
Na stránce kol. Klazara můžete též najít jeho skripta k této přednášce, ovšem pozor: v době, kdy byla skripta psána měla přednáška dvojnásobný rozsah, proto budeme některé věci probírat trochu stručněji a jinak.
Může se vám hodit tabulka s derivacemi všech elementárních funkcí.
Hezké sbírky na webu: sbírka pana Pyriha sbírka pana Picka.
Chcete-li se otestovat, jak dobře rozumíte definicím z různých partií matematiky (zejména analýzy), podívejte se na několik testíků. Musíte si však poradit s angličtinou a občas s mírně odlišnou terminologií.
Animované ztvárnění užitečnosti derivace. Kolegyně Krylová sepsala hezké poznámky o vyšetřování konvergence řad a průběhu funkcí.
Cvičení
Zisk zápočtu ze cvičení je nutnou podmínkou pro účast na zkoušce. Navíc, aktivní účast na cvičení vám výrazně usnadní skládání zkoušky. Podmínky k získání zápočtu vám sdělí příslušný cvičící.
Těžké?
Pokud máte obtíže s matematickými "základy" (jak rozumět formálním zápisům, jak má vypadat důkaz, ...), může vám velmi prospět předmět Matematické dovednosti Pokud se vaše potíže týkají přímo probírané látky (a ne obecně matematického jazyka), řešte je co nejdříve (samo se to nespraví ...). Poraďte se s kamarádem (to může být nejrychlejší), zeptejte se na cvičení, zeptejte se na příští přednášce (nebo po přednášce).
Zkouška
Zkouška bude písemná (příklady) a ústní (teorie). (Podrobnější info brzy zde.) Zkušební termíny pro písemnou část jsou vypsány v SISu mnou a doc. Ratajem. (Jsou celkem čtyři.) Je pravděpodobné, že bude vypsán ještě další termín písemky po skončení zkouškového období, ale určitě na něj neodkládejte svůj první pokus. Termíny pro ústní část vypíši podle počtu studentů, kteří absolvují písemku.

Co se dělo na přednáškách

1. přednáška 2.10.2013
Organizační poznámky (zápočty, zkoušky). Plán na zimní semestr (posloupnosti, řady, funkce). Proč si dávat pozor (1+2+4+8+... = -1). Jak vypadá důkaz: Odmocnina ze dvou je iracionální (důkaz sporem). Bernoulliova nerovnost (důkaz matematickou indukcí). Podmnožin přirozených čísel je více než přirozených čísel. Reálných čísel je víc než racionálních (tedy i víc než všech programů). K zamyšlení: pro která čísla n, k umíte modifikací důkazu z přednášky dokázat, že k-tá odmocnina z n je iracionální? Co takhle součet několika odmocnin (dvou, tří, ...) -- bude taky iracionální?
2. přednáška 9.10.2013
Říkali jsme si, jak Z (celá čísla) vznikne rozšířením N (přirozená čísla) tak, aby šlo odčítat, Q (rac. čísla) rozšířením Z tak, aby šlo dělit, a poté R vznikne rozšířením Q tak, aby šlo dělat supremum. Neboli, R je uspořádané těleso kde každá neprázdná shora omezená množina má supremum. V Q toto neplatí! (Rozmyslete.) Q není úplné těleso. Důkaz existence infima (pro neprázdné zdola omezené množiny) a archimédovské vlastnosti reálných čísel. Jak přesně se rozšíří racionální čísla na reálná jsme si jen pro představu naznačili, podrobnější popis můžete najít v textíku od Pavla Klavíka.
3. přednáška 16.10.2013
Ještě o reálných číslech: hustota racionálních a iracionálních čísel, existence odmocniny. Posloupnosti: definice (posloupnost, omezená a spol., limita).
4. přednáška 30.10.2013
Trojúhelníková nerovnost. Definice limity. Poznámky k definici limity (hlavně o zobecněné posloupnosti a o "K epsilon"). Jednoduché větičky o limitách: jednoznačnost limity, existence limity zaručuje omezenost. Rostoucí posloupnosti. Limita vybrané posloupnosti.
5. přednáška 6.11.2013
Vlastnosti limit: aritmetika limit, věty o limitě a uspořádání, o strážnících. Věta o limitě součinu omezené a mizející posloupnosti, Definice nevlastní limity.
6. přednáška 13.11.2013
Aritmetika limit pro nevlastní limity. Rozšířená definice suprema. Dělení kladnou nulou, monotónní posl. má limitu (a využití k počítání limit rekurentně zadaných posl.). Pozn. o Feketeho lemmatu. Bolzano-Weierstrassova věta. Hromadné hodnoty, limes superior/inferior a jejich vztah k limitě (informativně),
7. přednáška 20.11.2013
BC podmínka konvergence posloupnosti. Řady -- zejména s kladnými členy.
8. přednáška 27.11.2013
Neabsolutní konvergence řad.
9. přednáška 4.12.2013
Funkce -- úvod, definice limity, Heineho věta.
10. přednáška 11.12.2013
Vlastnosti limit funkcí. Spojité funkce -- Darbouxova vlastnost.
11. přednáška 18.12.2013
Spojité funkce -- nabývání extrémů, inverzní funkce. Derivace -- základní vlastnosti, l'Hospitalovo pravidlo.
12. přednáška 8.1.2014
Použití derivace na zkoumání extrémů a monotonie. Použití druhé derivace na zkoumání konvexity, konkávity, inflexe. Asymptoty. Příklad, jak vyšetřovat průběh funkce. Ukázka, jak zavést exponenciálu.