Proseminář z matematické analýzy (MA IV pro informatiky) (NMAI068)

vyučující Robert Šámal

Sylabus přednášky
najdete v SISu.
Literatura
V knihovně i v prodejně skript najdete mnoho knih a skript k tématu, bude upřesněno.
zápočet
Podmínky udělení zápočtu budou upřesněny podle okolností (počet účastníků atd.). Nicméně pro zájemce o předmět nebude problém jej získat, naopak pro "sběrače bodů" to asi není to pravé.
povinnost
Jak asi víte, předmět není povinný ani povinně volitelný. Mohl by vás ale bavit i tak :-) (a body za něj taky jsou).
úmluva
Čas konání bude úmluven na virtuální úmluvě. (Místo konání bude někde na MS.) Hlasy sečtu ve středu 22.2. ve 23:55 a brzy poté vyhlásím výsledky. UMLUVENO: Čtvrtek 15:40 v S3. Začínáme 1.3.2012.
zápisky z přednášek
Jako součást práce za získání zápočtu by měl každý vytvořit poznámky z jednoho týdne. Vydrží-li počet účastníků, vychází vždycky dvojice lidí na jeden seminář. Zapisujte se zde. Technicky: představuji si poznámky psané v (La)TeXu. Pokud by s tím někdo měl problém, možno i jinak, ale můžete to vzít i jako dobrou příležitost naučit se novou dovednost, přidružte se do dvojice k někomu, kdo již s TeXem někdy pracoval. Stáhněte si vzorový soubor a makra. Vyrobíte soubor dilXX.tex (kde XX je poradove cislo), preklada se soubor Prednaska4.tex pomoci latexu (resp. pdflatexu). Budete-li mít technické obtíže, ozvěte se. Obrázky stačí v ruce, kdyby se někdo ale chtěl potrénovat, hezký program na kreslení obrázků/ilustrací je Ipe. A tady je aktuální verze skriptíček.

Co se dělo

1. proseminář 1.3.2012
Úvod, přehled. Obyčejné diferenciální rovnice: co jsou a proč jsou. Řešení základních typů. Ukázka (ne)jednoznačnosti.
2. proseminář 8.3.2012
Obyčejné diferenciální rovnice se separovanými proměnnými. Proč to funguje. Úplné metrické prostory (definice a příklady). Banachova věta o kontrakci (důkaz jen jednoznačnosti).
3. proseminář 15.3.2012
Prostor spojitých funkcí s L1-normou není úplný. Banachova věta o kontrakci -- důkaz. Jak to vypadá pro funkce z R do R. Aplikace na řešení soustavy lineárních rovnic. Aplikace na řešení ODR (Picardova věta o existenci a jednoznačnosti řešení). Jen znění: Peanova věta.
4. proseminář 22.3.2012
Rovnice pro vývoj populace -- řešení. Volný pád ve vzduchu. Lineární diferenciální rovnice.
5. proseminář 29.3.2012
Míra. Úvodní varování--paradoxy. Měření elementárních množin. Část o míře a Lebesgueově integrálu bude volně podle poznámek prof. Tao.
6. proseminář 5.4.2012
Jordanova míra -- zavedení a vlastnosti. Souvislost s Riemannovým integrálem. Hádanky: Koule o poloměru r v Rd je Jordanovsky měřitelná a má míru cdrd. (2/sqrt(d))^d ≤ cd ≤ 2^d. Jak je to s mírou "prostříleného čtverce"? ([0,1]d bez všech racionálních bodů) A co ty "prostřelené body"? (Tj. body se všemi souřadnicemi racionálními čísly z [0,1]?)
7. proseminář 12.4.2012
Řešení hádanek z minula. Jaká je obecně míra obrazu množiny lineárním zobrazením. Riemannův integrál v řeči Jordanovy míry. Definice Lebesgueovy míry, výpočet pro racionální čísla.

Hádanky: 1) Spočetné sjednocení/průník Jordanovsky měřitelných množin nemusí být Jordanovsky měřitelná (i když je konečná).

2) Bodová limita Riemannovsky integrovatelných funkcí nemusí být Riemannovsky integrovatelná.

3) Zkuste modifikovat novou definici Riemannova integrálu (pomocí po částech konstantních funkcí), aby se dostalo něco víc. 4) Lebesgueova vnější míra spočetného sjednocení je nejvýše rovna součtu měr jednotlivých množin. (Leb.vn.míra je spočetně subaditivní.)

8. proseminář 19.4.2012
Vlastnosti Lebesgueovy míry.
žádný proseminář 26.4.2012
9. proseminář 3.5.2013
Lebesgueův integrál, a obecně integrál vzhledem k míře. Měřitelný prostor/prostor s mírou. Speciální případy: Lebesgueův integrál, součet řady (jen pokud je absolutně konvergentní), ale i mnohé další. Vlastnosti Lebesgueova integrálu. Markovova nerovnost (i s důkazem). Jen znění: kdy jde prohodit limitu a integrál? (Dvě věty: když kladné funkce monotónně rostou a když jsou všechny funkce v abs.hodnotě omezeny integrovatelnou majorantou.) Fubiniho věta.

Aplikace: seriózní vybudování teorie pravděpodobnosti.

Aplikace dominované konvergence -- časem zde přibydou poznámky s aplikací na kombinatorický problém. u

Hádanky: 1) Pomocí Fubiniho věty dokažte, že pro kladná X platí, že střední hodnota X (definovaná jako integrál z funkce X přes míru-pravděpodobnost) je rovná integrálu přes kladná t z Pr[X ≥ t] . 2) Dokažte, že nelze zadefinovat náhodné celé (resp. reálné) číslo "všude stejně", tj. neexistuje pravděpodobnostní míra na Z (resp. R), která by byla translačně invariantní (tj. Pr(E+t) = Pr(E) pro každé t).

10. proseminář 10.5.2013
Funkcionální analýza -- co a proč jsou Banachovy prostory.
11. proseminář 17.5.2013
Funkcionální analýza -- lineární operátory, funkcionály, skalární součin. Nejbližší bod v podprostoru. Problém k rozmyšlení: v každém políčku nekonečné čtvercové sítě je napsáno reálné číslo tak, že každé číslo je aritmetickým průměrem svých čtyř sousedů. (a) Musí pak být hodnota na políčku (m,n) nějaká lineární funkce am+bn+c? (b) Pokud jsou všechna čísla nezáporná, tak musí být všechna stejná. Hádanka: V Banachově prostoru bez skalárního součinu nemusí platit věta, kterou jsme si dokázali pro Hilbertův prostor: pro uzavřený podprostor M a bod x mimo M je bod M nejbližší k x určen jednoznačně. Najděte protipříklad v Rn s vhodnou normou!
12. proseminář 24.5.2013
Funkcionální analýza -- ortonormální báze, konvexita, oddělování, extremální body. Aplikace.