Matematická analýza III pro informatiky (NMAI056)

vyučující Robert Šámal

!!!Aktuality!!!

Zadání čtvrté zkouškové písemky
Výsledky čtvrté zkouškové písemky

Ještě znovu upravená verze poznámek z přednášky. Ve Weierstrassově testu chyběly absolutní hodnoty! Správně má být (jak jistě víte, např. ze cvičení) M_n= sup(|f_n|). Další překlep byl v integrálu z Dirichletova jádra.

Nové termíny ústní zkoušky připisuji do SISu podle časových možností (tj. v náhodné časy). Věřím, že si vyberete. (Pokud by to byl velký problém, ozvěte se.) Poslední písemka bude 16.3.2012 od 12:20 v S5.

Upravena verze poznámek z přednášky. Stále vítám všechny komentáře, zejména se prosím ozvěte, pokud tam něco chybí čí přebývá. Nejvážnější závady původní verze: 1) v Abel-Dirichletových podmínkách vypadl předpoklad omezenosti posloupnosti (b_n) 2) v Cauchy-Riemannových podmínkách bylo původně uvedeno, že pro existenci komplexní derivace stačí existence parc. derivací a splnění jistých rovností. Správně je ale potřeba, aby existoval i totální diferencíál.

Zadání třetí zkouškové písemky
Výsledky třetí zkouškové písemky a její řešení.

Zadání druhé zkouškové písemky
Výsledky druhé zkouškové písemky

Prodrobné informace o zkoušce.

Tyto věty nebudou zkoušeny, i když byly předneseny: 1) Cauchyho věta pro křivkové integrály na uz. křivkách 2) Základní věta algebry

Zadání první zkouškové písemky
Výsledky první zkouškové písemky
a NOVÉ -- a ještě nověji opravené vzorové řešení

Zkušební termíny pro písemku jsou vypsány v SISu. Ještě bude jeden po zkouškovém, cca v polovině března. Termíny pro ústní budou vypisovány podle potřeby a případně podle domluvy se studenty, kteří přijdou na příslušnou písemku: určitě 1.2., pak v týdnu 6.-10.2. dva nebo tři dny, v týdnu 13.-17.2. žádný, ten další týden (první v semestru) podle potřeby.

První verze poznámek z přednášky. Uvítám všechny komentáře, zejména se prosím ozvěte, pokud tam něco chybí čí přebývá.

Brzy se zde objeví podrobnosti o zkoušce. (Nejpozději 16.1.)

Sylabus přednášky: najdete v SISu.
Literatura: V knihovně i v prodejně skript najdete mnoho knih a skript k tématu, v SISu najdete seznam doporučených knih.

Na stránce kol. Klazara můžete též najít jeho skripta k této přednášce, ovšem pozor: v době, kdy byla skripta psána měla přednáška jiný sylabus. Stejné varování se vztahuje na zápisky z přednášky L. Picka sepsaná Petrem Baudyšem. Bližší přednášce v současné formě -- ale zase méně podrobné -- jsou zápisky kol.Rataje z minulého roku. Poznámky z této přednášky (prosím o upozornění na chyby i překlepy).
Hezké sbírky na webu: sbírka pana Pyriha, sbírka pana Picka.
Cvičení: Zisk zápočtu ze cvičení je nutnou podmínkou pro účast na zkoušce. Navíc, aktivní účast na cvičení vám výrazně usnadní skládání zkoušky. Podmínky k získání zápočtu vám sdělí příslušný cvičící.
Informace pro ty, kdo mají cvičení se mnou.

Co se dělo na přednáškách

1. přednáška 7.10.2011: Vícerozměrný Riemannův integrál. Fubiniho věta.
2. přednáška 14.10.2011: Integrál přes obecnou množinu a Fubiniho věta pro tento případ. Fubiniho věta pro řady. Věta o substituci. Aplikace -- obsah, objem rotačního tělesa, obsah plochy. Obsah kruhu. Integrál z exp(-x²).
3. přednáška 21.10.2011: Komplexní čísla -- početní operace, geometrický tvar. (Hádanka: jak pomocí komplexních čísel dokázat Thaletovu větu?) Limity, řady (opakování). Funkce komplexní proměnné a její derivace -- Cauchy-Riemannovy podmínky. Mocninné řady -- věta o poloměru konvergence.
žádná přednáška 28.10.2011: státní svátek
4. přednáška 4.11.2011: Vlastnosti mocninných řad: uvnitř kruhu konvergence lze sčítat, násobit, derivovat a integrovat "jako polynomy".
5. přednáška 11.11.2011: Aplikace mocninných řad a operací s nimi: sečtení řady vedoucí na logaritmus (pomocí derivovaní). Poznámky o víceznačnosti logaritmu, požadujeme-li spojitost na celém C (bez nuly). Aplikace na výpočet Fibonacciho a Catalanových čísel (s důrazem na analýznickou část). Komentář, jak využít singularit k hrubému odhadu růstu těchto čísel. Integrál v komplexním oboru. Definice, příklady (jak je to pro integrál, co má primitivní funkci!). Cauchyho věta -- začátek důkazu.
6. přednáška 18.11.2011: Dokončení důkazu Cauchyho věty a aplikace.
7. přednáška 25.11.2011: Stejnoměrná konvergence posloupností funkcí. Definice a srovnání s jinými variantami konvergence. Základní vlastnosti: ekvivalence s konvergencí v supremové normě, Cauchyho věta (stejnoměrná limita spojitých funkcí je spojitá), BC podmínka, prohození limity a (Riemannova) integrálu. Aplikace: Stirlingův vzorec pro n! (zatím bez zdůvodnění, proč lze prohodit limitu a integrál).
8. přednáška 2.12.2011: Dokončení Stirlingova vzorce -- zdůvodnění stejnoměrné konvergence apod. Diniho věta (bez důkazu). Stejnoměrná konvergence řad, Weierstrassovo kritérium. Aplikace na mocninné řady. Weierstrassova věta (pokud stejnoměrně konvergují derivace, tak ...).
9. přednáška 9.12.2011: Prohození limity a Newtonova integrálu (bez dk). Abelova věta. Důsledek pro spojitost mocninné řady v bodě na hranici kruhu konvergence. Abel-Dirichletovo kritérium pro konvergenci číselných řad -- bez důkazu. (Pozor, existuje obdobná věta pro stejnoměrnou konvergenci řad, ale tu přeskakujeme úplně.) Fourierovy řady -- úvodní motivace.
10. přednáška 16.12.2011: Riemann-Lebesgueovo lemma. Dirichletovo jádro. Formulka pro koeficienty ve Fourierově řadě. Tvar částečného součtu Fourierovy řady (s důkazem), věta o konvergenci částečných součtů k původní funkci (resp. k průměru "hodnot okolo") -- zatím bez důkazu.
11. přednáška 6.1.2012: Dokončení Four. řad. Metrické prostory -- opak. Využití kompaktnosti -- základní věta algebry.
12. přednáška 13.1.2012: Dokončení důkazu základní věta algebry. Alternativní popis kompaktnosti. Důkaz ekvivalence pro uzavřený interval. Aplikace: spojitá funkce na kompaktu je stejnoměrně spojitá. Informativně: topologické prostory, úplné prostory.