1. Ukažte, že takto definovaná $\mu^*$ splňuje předepsané požadavky. 

2. (a) Uvažte všechna $i$-prvková párování v úplném grafu a pomocí PIE 
odfiltrujte ty, co obsahují hranu mimo $G$. (b) plyne z (a). 
(c) Počet perfektních párování má stejnou paritu jako 
determinant matice sousednosti. 

3. Napřed to dokažte pro acyklické grafy. 

4. Isomorfní grafy mají stejné spektrum! 

5. Buď $\{h_1, \dots, h_m\}$ minimální množina generátorů grupy $\Gamma$. 
Vrcholy grafu budou $\Gamma\times\{1,2\}$, vrcholy $(g,1)$ a $(g',2)$ 
jsou spojeny hranou právě když $g' g^{-1} = h_i$ pro některé $i$. 
Takovýto graf má určitě grupu automorfismů alespoň $\Gamma$. Abychom nedostali 
žádné další automorfismy, přidejte nějaké hrany v rámci 
$\Gamma\times \{1\}$ a v rámcí $\Gamma\times \{2\}$. 

6. (a) Uvažte dvě hrany $xy$, $xz$ a kružnici $C$ procházející $y$ a $z$ 
v $G_1 - x$. 

(b) Máme případ obdobný nedávno zkoumanému zobrazení line-grafů ale v jednodušším hávu: 
tentokrát nemůže hvězda odpovídat trojúhelníku.