1. $\mu(a,b)$ závisí jen na struktuře intervalu $\{ z: a \le z \le b\}$. 

2. (a) Indukce podle $n$. Odeberte vrchol lichého stupně a mezi jeho sousedy 
prohoďte hrany a nehrany. 
(b) Přidejte nový vrchol a spojte ho se všemi původními vrcholy. 

3.
Uvažte graf $K_n^n = K_n \times \cdots \times K_n$. 

(d) Chceme-li obarvit lichý cyklus pomocí tří barev a v každém vrcholu je jedna 
barva zakázaná, tak to je možné kromě případu kdy všechny zakázané barvy jsou 
stejné. 
(e) Uvažte napřed případ kdy jsou povoleny všechny rozklady až na jeden. 

4. Isomorfní grafy mají stejné spektrum! 

5. Buď $\{h_1, \dots, h_m\}$ minimální množina generátorů grupy $\Gamma$. 
Vrcholy grafu budou $\Gamma\times\{1,2\}$, vrcholy $(g,1)$ a $(g',2)$ 
jsou spojeny hranou právě když $g' g^{-1} = h_i$ pro některé $i$. 
Takovýto graf má určitě grupu automorfismů alespoň $\Gamma$. Abychom nedostali 
žádné další automorfismy, přidejte nějaké hrany v rámci 
$\Gamma\times \{1\}$ a v rámcí $\Gamma\times \{2\}$. 

6. (a) Uvažte dvě hrany $xy$, $xz$ a kružnici $C$ procházející $y$ a $z$ 
v $G_1 - x$. 

(b) Máme případ obdobný nedávno zkoumanému zobrazení line-grafů ale v jednodušším hávu: 
tentokrát nemůže hvězda odpovídat trojúhelníku.