1. (a) 
Pro danou rotaci spočtěte, kolik $k$-úhelníků se tou rotací zachovává.
(b) Obdobně. 

2. Uvažte nejdelší cyklus, který není Hamiltonovský. 

3. Rozdělte každý vrchol $v$ na zhruba $\deg(v)/k$ vrcholů stupně zhruba $k$. 

4. Můžeme předpokládat, že vrcholy $T$ jsou 1, 2, \dots, n, 
hrana e spojuje k a k+1, a komponenty T-e jsou 1,2, \dots, k
a k+1, \dots, n. Uvažte rozvoj \det(A-\lambda I) podle prvních k řádek. 

5. Použijte Hallovu větu a Lovászův příklad 7.6 (viz
http://kam.mff.cuni.cz/~samal/vyuka/0910/ke/ke6.pdf
příklad čtvrtý). 

6. (a) Pro $r=2$ to už víme. Užijte indukci podle $a_1 + \dots + a_k$ a $r$.
(b) Vyberte uspořádanou $m$-tici $(x_1, \dots, x_m)$ t.ž. pro každou $r$-tici
indexů $1 \le i_1 < i_2 < \dots < i_r \le m$ mají všechny $(r+1)$-tice
$(x_{i_1}, x_{i_2}, \dots, x_{i_r}, x_t)$ (pro $i_r < t \le m$) 
stejnou barvu.

7. Ukažte, že každá varienta s příp. okrajem (trojúhelníček, na který už
další nenavazuje), příp. nesouvislá, je sjednočení koulí s ušima, Möb. pásky nebo dírami. 
Postupujte indukcí: začátek jsou disj. trojúhelníky, krok je nějaké lepení.