Matematická analýza I pro informatiky (NMAI054)

Paralelka X, vyučující Robert Šámal



Aktuální
Úplně poslední termín písemky bude cca v polovině června, konkrétně 14.6.2011 od 9hod. v S5 na MS. (V SISu termín paní Staré.) Upozorňuji, že nevyčerpání všech tří pokusů na zkoušku nezakládá nárok na vypsání nového termínu. výsledky (paralelka X),

Sylabus přednášky
najdete v SISu.
Literatura
V knihovně i v prodejně skript najdete mnoho knih a skript k tématu, v SISu najdete seznam doporučených knih.
Žádná kniha ale neodpovídá probírané látce přesně. Můžete se podívat na Přehled probrané látky již upravený pro letošní verzi přednášky. Letos to může být trochu jinak, přehled letos probrané látky naleznete stručně dole a pak podrobně i s možností přidávání komentářů. Důkazy tam všechny psát nebudu, ale věty a definice by tam měly být všechny (občas v mírně jiné formulaci než na přednášce, ale ekvivalentní). Budu vděčný za upozornění na chyby!
Na stránce kol. Klazara můžete též najít jeho skripta k této přednášce, ovšem pozor: v době, kdy byla skripta psána měla přednáška dvojnásobný rozsah, proto budeme některé věci probírat trochu stručněji a jinak.
Může se vám hodit tabulka s derivacemi všech elementárních funkcí.
Hezké sbírky na webu: sbírka pana Pyriha sbírka pana Picka.
Chcete-li se otestovat, jak dobře rozumíte definicím z různých partií matematiky (zejména analýzy), podívejte se na několik testíků. Musíte si však poradit s angličtinou a občas s mírně odlišnou terminologií.
Animované ztvárnění užitečnosti derivace. Kolegyně Krylová sepsala hezké poznámky o vyšetřování konvergence řad a průběhu funkcí.
Cvičení
Zisk zápočtu ze cvičení je nutnou podmínkou pro účast na zkoušce. Navíc, aktivní účast na cvičení vám výrazně usnadní skládání zkoušky. Podmínky k získání zápočtu vám sdělí příslušný cvičící.
Informace pro ty, kdo mají cvičení se mnou.
Informace pro studenty kombinovaného studia.
Obecné informace pro komb. studenty asi znáte. S kolegy učícími zbylé dvě paralelky jsme si vás rozdělili abecedně podle příjmení takto: A-J Šámal, K-P Stará a Q-Z Klazar, toto rozdělení bude závazné hlavně pro zkoušku. Obracejte se prosím na nás podle něj (individuální přesuny jsou ve zdůvodněných případech možné). Požadavky pro získání zkoušky jsou stejné jako u prezenčního studia (viz níže). Bonifikačních písemek se účastnit nemusíte, ale mohou vám pomoci. Ohledně zápočtu -- pokud budete mít možnost navštěvovat některé cvičení kontaktujte příslušného cvičícího. Pokud možno, do konce října. Pokud vám to čas nedovolí, podívejte se na stránku mých cvičení pro podmínky získání zápočtu "korespondenčně".
Těžké?
Pokud máte obtíže s matematickými "základy" (jak rozumět formálním zápisům, jak má vypadat důkaz, ...), může vám velmi prospět předmět Matematické dovednosti Pokud se vaše potíže týkají přímo probírané látky (a ne obecně matematického jazyka), řešte je co nejdříve (samo se to nespraví ...). Poraďte se s kamarádem (to může být nejrychlejší), zeptejte se na cvičení, zeptejte se na příští přednášce (nebo po přednášce).
Zkouška
Zkouška bude písemná (příklady) a ústní (teorie). Podrobněji: Informace o zkouškách a vzorové zadání zkouškové písemky. Zkušební termíny pro písemnou část jsou vypsány v SISu paní Starou. (Vždy v úterý od 10:30, ve dnech 18.1., 25.1., 1.2., 15.2. + jeden termín v případě potřeby v březnu.) Termíny pro ústní část vypíši podle počtu studentů, kteří absolvují písemku. Oproti původnímu plánu se nebudou zkoušet věta o derivaci inverzní složené funkce a věta o zavedení exponenciály. (Věta o derivaci inverzní funkce se sem dostala nedopatřením, omlouvám se.)

V průběhu semestru budeme psát dvě bonifikační písemky -- nepovinné písemky zhruba úrovně zkouškové písemky; její výsledky vám mohou přilepšit při "ostré" zkoušce. Budou se konat v pátky 19.11. a 7.1. odpoledne (cca od 14 hod.) na Malé Straně.

Vzorová 1. bonifikační písemka, jiná i s řešením. Vzorová 2. bonifikační písemka, jiná i s řešením

Zadání letošní 1. bonif. písemky a její řešení. Zadání letošní 2. bonif. písemky a její řešení. Pokud se chcete podívat na vaši opravenou písemku, přijďte nejlépe v termínech ústních zkoušek (viz SIS), nebo dle dohody jindy. Pokud písemka nedopadla podle vašich představ, vřele doporučuji poučit se z chyb.

Co se dělo na přednáškách

1. přednáška 29.9.2010
Organizační poznámky (zápočty, zkoušky, bonifikační písemky). Příští týden bude MA i místo LA, naopak 20.10. bude LA místo MA. Plán na zimní semestr (posloupnosti, řady, funkce). Proč si dávat pozor (1+2+4+8+... = -1). Jak vypadá důkaz: Odmocnina ze dvou je iracionální (důkaz sporem). Bernoulliova nerovnost (důkaz matematickou indukcí). Podmnožin přirozených čísel je více než přirozených čísel.
2. přednáška 6.10.2010
Dodělek: reálných čísel je víc než přirozených (tedy i víc než všech programů). Říkali jsme si, jak Z (celá čísla) vznikne rozšířením N (přirozená čísla) tak, aby šlo odčítat, Q (rac. čísla) rozšířením Z tak, aby šlo dělit, a poté R vznikne rozšířením Q tak, aby šlo dělat supremum. Neboli, R je uspořádané těleso kde každá neprázdná shora omezená množina má supremum. V Q toto neplatí! (Rozmyslete.)
3. přednáška 7.10.2010
Q není úplné těleso. Důkaz existence infima (pro neprázdné zdola omezené množiny) a archimédovské vlastnosti reálných čísel. Ještě o reálných číslech: hustota racionálních a iracionálních čísel, existence odmocniny. Posloupnosti: definice (posloupnost, omezená a spol., limita).
4. přednáška 27.10.2010
Poznámky k definici limity (hlavně o zobecněné posloupnosti a o "K epsilon"). Jednoduché větičky o limitách: jednoznačnost limity, existence limity zaručuje omezenost. Trojúhelníková nerovnost. Rostoucí posloupnosti. Vlastnosti limit: vybrané posloupnosti, aritmetika limit, věty o limitě a uspořádání.
5. přednáška 3.11.2010
o strážnících. Definice nevlastní limity. Věta o limitě součinu omezené a mizející posloupnosti, dělení kladnou nulou, monotónní posl. má limitu (a využití k počítání limit rekurentně zadaných posl.) (důkaz bude příště).
6. přednáška 10.11.2010
Důkaz ex. limity pro mon. posl., pozn. o Feketeho lemmatu, Bolzano-Weierstrassova věta. Hromadné hodnoty, limes superior/inferior a jejich vztah k limitě (informativně), BC podmínka konvergence.
7. přednáška 24.11.2010
Řady: defce, nutná podmínka konvergence, aritmetika, kritéria srovnávací, limitní srovnávací, Cauchyovo odmocninové. d'Alambertovo kriterium (to bez dk).
8. a 9. přednáška 8.12.2010
V d'Alambertovo a Cauchyovo krit. vyjdou stejné limity. Příklad, k čemu je dobré vědět, zda řada konverguje. Kondenzační kriterium (a důsledek: konvergence řady 1/n^a). Absolutní konvergence: defce, vztah s konvergencí (pomocí BC podmínky pro řady). Leibnitzova věta. Pozn. o Abel-Dirichletovu krit. a o přerovnávání řad. Součin řad. Aplikace na definici exponenciály. Funkce: definice limity.
10. přednáška 15.12.2010
Def. jednostranné limity. Věty o limitách: Heineho, jednoznačnost, limita a omezenost, aritmetika limit. Důsledek: aritmetika spojitých funkcí. Věta o limitě složené funkce.
11. přednáška 22.12.2010
Darbouxova vlastnost spojitých funkcí -- aplikace na řešení rovnic a stavění vánočního stromečku. Derivace funkce: definice, motivace, obrázek. Funkce, která má derivaci je v přísl. bodě spojitá. Aritmetika derivací (dk jen pro součet a součin).
12. přednáška 5.1.2011
Derivace složené funkce (jen pro případ g' nenulové). Derivace inverzní funkce. Příklady derivací funkcí (ln, arcsin). L'Hospitalovo pravidlo (bez důkazu). Jednostranná derivace coby jednostranná limita derivací. Fermatova věta o lok. extrému. Derivace a monotonie (důkaz příště). Konvexita, konkávita -- definice, užití druhé derivace ke zkoumání.
13. přednáška 12.1.2011
Definice tečny, inflexního bodu, věta pro jeho poznání. Def. a věta o asymptotě. Vlastnosti spojitých funkcí -- opak. Dále, spojitý obraz intervalu je interval, spojitá funkce nabývá maxima a minima, je tudíž omezená. Inverzní funkce ke spojité monotónní je spojitá (a monotónní). Rolleova věta. Lagrangeova věta o střední hodnotě. Coby její aplikace důkaz souvislosti derivace a monotonie. Zavedení exponenciály, zmínky o log, sin, cos, tg, cotg, arcsin a spol.