\documentclass{article}
\usepackage{cvika}

\begin{document}

\Nadpis{\bf 9. cvi�en� z MA---28. a 29.11.2005}


\nadpis{Derivace}
Co je to derivace? Jak se spo��t� derivace sou�tu, sou�inu, pod�lu
funkc�? Derivace slo�en� funkce, inverzn� funkce?
Jak� jsou derivace element�rn�ch funkc�?


\pr Spo�t�te derivace n�sleduj�c�ch funkc�.

\cast $\frac {1}{\sqrt{1+x^2}}$, $\sin \frac {x+1}{x^2+1}$, 
  $\cos \ln x$, $\ln \frac {x^2-1}{x^2+1}$

\cast $x^x$, $(1/x)^{1/x}$, $(\sin x)^{\cos x}$

\cast $\arctg(\tg^2 x)$, $\ln \arccos x$, $\arcsin \sin x$

\pr Vypo�t�te derivaci funkc�  

\cast $$f(x) = \begin{cases}
            (x-a)^2(x-b)^2 & \hbox {pro $x \in \langle a, b \rangle$} \\
            \frac 1e     & \hbox {pro ostatn� $x$} \\
         \end{cases}
$$

\cast $$g(x) = \begin{cases}
            x^2 e^{-x^2} & \hbox {pro $|x| \le 1$} \\
            \frac 1e     & \hbox {pro $|x| > 1$} \\
         \end{cases}
$$

\pr Spo�t�te derivace $\mathop{\rm argcosh} x = \ln (x+\sqrt{x^2-1})$ ($x \ge 1$)
 jednak p��mo, jednak pomoc� v�ty o derivaci inverzn� fukce.

\oddel

\pr \cast Kter� z obd�ln�k� o obvodu $l$ m� nejv�t�� obsah?

\cast Kter� z v�lc� o objemu~$V$ m� nejmen�� povrch?

\pr Doka�te a zapamatujte si n�sleduj�c� nerovnosti.
\cast Pro v�echna $x \in \er$ plat� $e^x \ge 1+x$. 

\cast pro v�echna $x \ge 0$ plat� $\sin x \le x$.

\pr $(1+1/x)^x$ je rostouc� funkce ($x \in \er^+$).

\end{document}
