\documentclass{article}
\usepackage{cvika}

\begin{document}

\Nadpis{\bf 8. cvi�en� z MA---21. a 22.11.2005}


\nadpis{Limity, hromadn� body, $\limsup$}

Rozhodn�te o platnosti n�sleduj�c�ch tvrzen�:

\begin{enumerate}
\item Pokud $\l a_n = +\infty$, potom $\l 1/a_n = 0$.
\item Pokud $\l a_n = 0$, potom $\l 1/a_n = +\infty$.
\item $\l a_n = 0$, pr�v� kdy� $\l 1/|a_n| = +\infty$.
\item Pokud $\l a_n = A$, potom $\l a_{2n} = A$.
\item Pokud $\l a_{2n} = A$, potom $\l a_{n} = A$.
\item $\l a_n = A$, pr�v� kdy� $\l a_{b_n} = A$ pro ka�dou
 rostouc� posloupnost p�irozen�ch ��sel $b_n$.
\item $\l a_n = A$, pr�v� kdy� $\l a_{b_n} = A$ pro ka�dou
 neklesaj�c� posloupnost p�irozen�ch ��sel $b_n$.
\end{enumerate}


\oddel

Co jsou to hromadn� body posloupnosti? Jak� hromadn� body maj�
posloupnosti $(-1)^n$, $(-2)^n$, $(-1/2)^n$, $i^n$?
Sestrojte posloupnost, jej�� hromadn� body tvo�� interval 
$\langle 0,1\rangle$. Mohou hromadn� body tvo�it libovolnou mno�inu?

\oddel

Co je to limes superior/inferior? Jak souvis� s hromadn�mi body, 
s limitou, se supremem/infimem? Ur�ete limes superior i inferior
posloupnosti $(n-1)/n$.


\nadpis{Funkce}

Co je to funkce? Jak� vlastnosti funkc� zn�te a um�te zkoumat?
Uve�te zaj�mav� p��klady funkc�!

\pr
Doka�te, �e funkce $f$ je na intervalu $I$ rostouc�, pr�v� kdy� plat� 

$$(\forall x,y \in I) \ x \ne y \Implies \frac{f(x)-f(y)}{x-y}>0 \,.$$

\pr
Je-li $f$ neklesaj�c� na $(-\infty,a\rangle$ a nerostouc� na $\langle
a,\infty)$ pro n�jak� $a \in \er$, pak $f$ nab�v� maxima.

\pr
Nech� $f$ nab�v� minima v $a\in \er$. Mus� pak existovat $\eps>0$
takov\'e, \v ze $f$ je nerostouc� na $(a-\eps,a\rangle$ a neklesaj�c�
na $\langle a,a+\eps)$?

\pr
Kter� z n�sleduj�c�ch operac�
proveden�ch na neklesaj�c� (monotonn�) funkce d�vaj�
op�t neklesaj�c� (monotonn�) funkci?

Operace: $+, -,\max, \min, \circ.$

Existuje funkce, kter� nen�  monotonn� na
��dn�m intervalu?

\end{document}
