\documentclass{article}
\usepackage{cvika}

\begin{document}

\Nadpis{\bf 2. cvi�en� z MA --- 8. a 13.10.2008}

\nadpis{Hr�tky s goniometrick�mi funkcemi}

\pr Pomoc� sou�tov�ch vzorc�
\begin{align*}
  \sin (x+y) &= \sin x \cos y + \cos x \sin y \\
  \cos (x+y) &= \cos x \cos y - \sin x \sin y \\
\end{align*}
doka�te \\
 (a) $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$, \\
 (b) $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ \\
 (c) $\sin^2 x = (1-\cos 2x)/2$

\pr Nech� $t = \tg x$. Doka�te n�sleduj�c� vztahy \\
  (a) $\cos^2 x = \frac {1}{1+t^2}$, \\
  (b) $\sin^2 x = \frac {t^2}{1+t^2}$.

\pr Nech� $t = \tg (x/2)$. Doka�te n�sleduj�c� vztahy \\
  (a) $\cos^2 (x/2) = \frac {1}{1+t^2}$, \\
  (b) $\sin x = \frac {2t}{1+t^2}$, \\
  (c) $\cos x = \frac {1-t^2}{1+t^2}$.

\medskip

I kdy� to tak mo�n� nevypad�, tyto vzorce se n�m budou v letn�m semestru n�ramn� hodit 
(a n�kter� i d��v \ldots).

\nadpis{Matematick� indukce}

Jak funguje d�kaz matematickou indukc�? 
Zkuste to na n�sleduj�c�ch p��kladech!


\pr Pro ka�d� $n$ p�irozen� plat� \\
  (a) $1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}2$ \\
  (b) $1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac {n(n+\tfrac 12)(n+1)}3$ \\
  (c) $1 + q + q^2 + \cdots + q^{n-1} = \frac {q^n-1}{q-1}$ pro $q\ne 1$

\pr Pro ka�d� $n$ p�irozen� a $x$ re�ln� plat� \\
$$
   \sum_{k=1}^n \sin kx = 
     \frac {\cos \tfrac12 x - \cos (n+\tfrac 12)x}{ 2\sin \tfrac x2 } \,.
$$

\pr Pro p�irozen� $n \ne 3$ plat� $2^n \ge n^2$.

\pr $\left(\frac ne \right)^n \le  n! \le \left(\frac {n+1}2 \right)^n$.
P�itom $e=2.71828\dots$ je z�klad p�irozen�ho logaritmu; bude se v�m hodit, �e
$(1+1/n)^n \le e$ pro ka�d� p�irozen�~$n$, to dokazovat nemus�te.
Pro horn� odhad lze m�sto indukce pou��t AG-nerovnost.

\pr* Doka�te AG-nerovnost (z minul�ho t�dne). N�vod: nap�ed dokazujte
pro $n=2^k$ ($k$~p�irozen�), pak pro ostatn�~$n$ ``zp�tnou indukc�''
$n+1 \to n$.

\end{document}
