\documentclass{article}
\usepackage{cvika}
\begin{document}

\Nadpis{\bf 1. cvi�en� z MA --- 1. nebo 6.10.2008}

\nadpis{Funkce}
\pr Nakreslete grafy n�sleduj�c�ch funkc�:

  \cast $\cos x$, $\cos 2x$, $\cos (x+\pi)$, $\cos (2x+\pi)$, $2\cos x + 1$

  \cast $\big||x-1|-1\big|$, $\big||x-1|-1\big|^2$, $\big||x-1|^2-1\big|$

  \cast $\sin |x|$, $|\sin x|$

  \cast* $\sin x^2$, $\sin 1/x$, $\ln \sin x$, $\ln \ln \sin x$

  \cast $\sqrt {1-x^2}$

  \cast $\sin x \cdot \cos x$

  \cast* $x + 1/x$

\pr Vyhovuje funkce dan� p�edpisem $f(x) = \sin x$ n�sleduj�c�mu
v�roku, nebo jeho negaci?
$$
  (\forall \eps>0)(\exists K>0)(\forall x\in\er) \quad x > K \Implies |f(x)| < \eps 
$$

\pr Kter� z n�sleduj�c�ch v�rok� je siln�j��?
(��k�me, �e v�rok $A$ je siln�j�� ne� v�rok $B$, pokud z platnosti $A$
m��eme usoudit, �e $B$ tak� plat�.)
\begin {itemize}
  \item $(\forall x \in \er)(\exists K > 0)\quad |f(x+1)-f(x)| \le K$
  \item $(\exists K > 0)(\forall x \in \er)\quad |f(x+1)-f(x)| \le K$
\end {itemize}

\pr Bu� $f : X \to Y$ libovoln� zobrazen� (co to znamen�?), 
$A, B \subseteq X$ libovoln� mno�iny.

  \cast Jak� je vztah mezi mno�inami $A$ a $f^{-1}(f(A))$?

  \cast Jak� je vztah mezi mno�inami $f(A \cup B)$ a $f(A) \cup f(B)$?

  \cast Jak� je vztah mezi mno�inami $f(A \cap B)$ a $f(A) \cap f(B)$?


\nadpis{AG nerovnost}
\pr
Pro kladn� re�ln� ��sla $x_1$, \dots, $x_n$ plat�
$$
  \root n \of {x_1 \dots x_n} \le \frac 1n (x_1 + \cdots + x_n) \,.
$$

Doka�te pro $n=2$ a zapamatujte si pro v�echna p�irozen�~$n$.

\nadpis{Logika, v�roky}
\pr Pro libovoln� v�roky $a$, $b$ jsou n�sleduj�c� v�roky 
ekvivalentn�. (P�ipome�te si nap�ed pravdivostn� tabulky
logick�ch spojek -- nebo se zeptejte, pokud nev�te o� jde.)
Rozmyslete si a dob�e zapamatujte, p�i ch�p�n�
d�kaz� se v�m to bude hodit! \\
(i) $a \implies b$,  
(ii) $\neg b \implies \neg a$,
(iii) $\neg a \vee b$,
(iv) $\neg (a \& \neg b)$.

\pr �ekn�te bez pou�it� ``implikace'':
Nebude-li pr�et, nezmoknem. Kdo se bude sna�it, dostane z�po�et.
Kdo z�sk� dost bod� z p�semky, dostane z�po�et. Kdo nebude
nic um�t a nebude se sna�it, ten nedostane z�po�et. 

\pr Znegujte: Kdy� pr��, nevych�z�m z domu. Nebude-li pr�et,
nezmoknem. Zmokneme, pr�v� kdy� bude pr�et.

\pr Zapi�te pomoc� kvantifik�tor� a znegujte: 
V�echna p�irozen� ��sla jsou sud�. Ka�d� prvo��slo je lich�. 
N�kter� p�irozen� ��slo je d�liteln� v�emi prvo��sly. 
Mezi $n$ a $2n$ v�dy najdeme n�jak� prvo��slo.

\vfill
Web: \tt http://kam.mff.cuni.cz/\~{}samal

\end{document}
