\documentclass{article}
\usepackage{cvika}

\begin{document}

\Nadpis{\bf 1. cvičení z MA---25. a 26.2.2009}

\nadpis{Aplikace průběhů funkcí}

Jak se pomocí derivace pozná, kde má funkce maximum/minimum? Kde je rostoucí/klesající?

\pr \cast Který z obdélníků o obvodu $l$ má největší obsah?

\cast Který z válců o objemu~$V$ má nejmenší povrch?

\cast Z čtvercového listu papíru odstřihneme v rozích malé čtverce a složíme krabičku
(bez víka). Jak velké čtverce máme odstřihnout, aby vzniklá krabička měla co největší objem?

\cast Jak velký snéhulák (ze tří koulí) lze vyrobit z koule o poloměru 1 metr?
Tip: použijte Jensenovu nerovnost. Pro konvexní funkci $f$ a čísla $\alpha_i$, $x_i$ 
taková, že $\alpha_i \ge 0$, $\sum_i \alpha_i = 1$ platí, že
$$
  f(\sum_i \alpha_i x_i) \le \sum_i \alpha_i f(x_i) \,.
$$

\cast Z chodby o šířce $A$ odbočuje chodba o šířce $B$. S jak dlouhou tyčí je možno
zatočit? (Pro jednoduchost: tyč chceme nést vodorovně.)


\pr Dokažte a zapamatujte si následující nerovnosti.
\cast Pro všechna $x \in \er$ platí $e^x \ge 1+x$. 

\cast Pro všechna $x \in (-1,\infty)$ platí $\ln (1+x) \le x$. 

\cast Pro všechna $x \in \er$ platí $1+x \ge e^{\frac {x}{1+x}}$. 

\cast pro všechna $x \ge 0$ platí $\sin x \le x$.

\pr $(1+1/x)^x$ je rostoucí funkce ($x \in \er^+$).


\nadpis{Taylorův polynom}

Zopakujte si, co je to Taylorův polynom stupně $n$ pro funkci $f(x)$
v bodě $x=a$. Jaké věty o něm znáte?

\pr Napište Taylorův polynom v nule (stupně např. 5) pro následující funkce 
\cast $e^x$ \\
\cast $\log (1+x)$ \\
\cast $\sin x$ \\
\cast $\cos x$ \\
\cast $(1+x)^a$ \\

\pr Pomocí Taylorova polynomu spočtěte následující limity:

(a)~$\limx0 {\cos x- e^{-\frac{x^2}{2}}\over x^4}$, 
(b)~$\limx0{e^x \sin x - x(1+x)\over x^3}$, 
(c)~$\limx{+\infty} \left(\root 6 \of{x^6+x^5} - \root 6 \of {x^6-x^5}\right)$, 

(d)~$\limx{+\infty}\left(x-x^2\ln\left(1+\frac1x\right)\right)$.

\pr Použitím Taylorova polynomu spočtěte přibližně $\sqrt 2$
(a další dle libosti) a {\bf odhadněte chybu}. Čili určete interval
$(a,b)$ co nejmenší délky, v němž dané čislo leží. 

\pr Spočtěte přibližně (můžete bez odhadu chyby) následující čísla:
$\sin 0.1$, $\cos 0.1$, $\sqrt{0.98}$, $\root 3 \of {1279.03}$, $e^{0.01}$,
$\log 1.2$, $\log 2$, $\root 12 \of {1.03}$, $1.01^5$, \dots


\newpage
$1.414\,213$ \\
$0.099\,833$, $0.995\,004$, $0.989\,949$, $12.002\,3$, $1.010\,050$, $0.182\,321$, $0.693\,147$, $1.002\,466$, $1.051\,010$

\end{document}