\documentclass{article}
\usepackage{cvika}

\begin{document}

\Nadpis{\bf 1. cvi�en� z MA---25. a 26.2.2009}

\nadpis{Aplikace pr�b�h� funkc�}

Jak se pomoc� derivace pozn�, kde m� funkce maximum/minimum? Kde je rostouc�/klesaj�c�?

\pr \cast Kter� z obd�ln�k� o obvodu $l$ m� nejv�t�� obsah?

\cast Kter� z v�lc� o objemu~$V$ m� nejmen�� povrch?

\cast Z �tvercov�ho listu pap�ru odst�ihneme v roz�ch mal� �tverce a slo��me krabi�ku
(bez v�ka). Jak velk� �tverce m�me odst�ihnout, aby vznikl� krabi�ka m�la co nejv�t�� objem?

\cast Jak velk� sn�hul�k (ze t�� koul�) lze vyrobit z koule o polom�ru 1 metr?
Tip: pou�ijte Jensenovu nerovnost. Pro konvexn� funkci $f$ a ��sla $\alpha_i$, $x_i$ 
takov�, �e $\alpha_i \ge 0$, $\sum_i \alpha_i = 1$ plat�, �e
$$
  f(\sum_i \alpha_i x_i) \le \sum_i \alpha_i f(x_i) \,.
$$

\cast Z chodby o ���ce $A$ odbo�uje chodba o ���ce $B$. S jak dlouhou ty�� je mo�no
zato�it? (Pro jednoduchost: ty� chceme n�st vodorovn�.)


\pr Doka�te a zapamatujte si n�sleduj�c� nerovnosti.
\cast Pro v�echna $x \in \er$ plat� $e^x \ge 1+x$. 

\cast Pro v�echna $x \in (-1,\infty)$ plat� $\ln (1+x) \le x$. 

\cast Pro v�echna $x \in \er$ plat� $1+x \ge e^{\frac {x}{1+x}}$. 

\cast pro v�echna $x \ge 0$ plat� $\sin x \le x$.

\pr $(1+1/x)^x$ je rostouc� funkce ($x \in \er^+$).


\nadpis{Taylor�v polynom}

Zopakujte si, co je to Taylor�v polynom stupn� $n$ pro funkci $f(x)$
v bod� $x=a$. Jak� v�ty o n�m zn�te?

\pr Napi�te Taylor�v polynom v nule (stupn� nap�. 5) pro n�sleduj�c� funkce 
\cast $e^x$ \\
\cast $\log (1+x)$ \\
\cast $\sin x$ \\
\cast $\cos x$ \\
\cast $(1+x)^a$ \\

\pr Pomoc� Taylorova polynomu spo�t�te n�sleduj�c� limity:

(a)~$\limx0 {\cos x- e^{-\frac{x^2}{2}}\over x^4}$, 
(b)~$\limx0{e^x \sin x - x(1+x)\over x^3}$, 
(c)~$\limx{+\infty} \left(\root 6 \of{x^6+x^5} - \root 6 \of {x^6-x^5}\right)$, 

(d)~$\limx{+\infty}\left(x-x^2\ln\left(1+\frac1x\right)\right)$.

\pr Pou�it�m Taylorova polynomu spo�t�te p�ibli�n� $\sqrt 2$
(a dal�� dle libosti) a {\bf odhadn�te chybu}. �ili ur�ete interval
$(a,b)$ co nejmen�� d�lky, v n�m� dan� �islo le��. 

\pr Spo�t�te p�ibli�n� (m��ete bez odhadu chyby) n�sleduj�c� ��sla:
$\sin 0.1$, $\cos 0.1$, $\sqrt{0.98}$, $\root 3 \of {1279.03}$, $e^{0.01}$,
$\log 1.2$, $\log 2$, $\root 12 \of {1.03}$, $1.01^5$, \dots


\newpage
$1.414\,213$ \\
$0.099\,833$, $0.995\,004$, $0.989\,949$, $12.002\,3$, $1.010\,050$, $0.182\,321$, $0.693\,147$, $1.002\,466$, $1.051\,010$

\end{document}

