Matematická analýza I pro informatiky (NMAI054)

Paralelka Y, vyučující Robert Šámal

!!!Aktuality!!!

22.9.2009, 13-15, v S3.
V SISu je nový termín: 20.3. v K1 od 12:20. Zde je jeho řešení a tady jsou výsledky.
Ústní termíny jsou v SISu.
Poslední termín bude koncem záři, (velmi) těsně před termínem pro uzavření registrace.

Informace o zkouškách (finální verze) Jediné, co není v pdfku zahrnuto, je, které dva důkazy nebudou zkoušeny: Heineho věta a Abel-Dirichletovo kritérium. Pozor: měli byste vědět, co ty věty říkají (stejně jako u vět, které jsme v přednášce vyslovili bez důkazu). Ať vám jde učení od ruky!

Zadání čtvrté písemky a její výsledky.

Studenti s >= 30 body postupují k ústní části. Studenti s >= 27 body postupují k ústní části **podmíněně** -- tj. napřed u nich zjistím, jestli to, co jim v písemce nešlo už umějí. Ostatní zkoušku určitě udělají přístě! Termíny ústní části jsou v SISu (úterý a středa dopoledne).

Zadání první písemky (i s řešením) a její výsledky. Zkušební termíny v úterý a středu ráno, hnedle budou v SISu.

Přehled probrané látky je tu v aktuální verzi. Můžete se tam tedy dočíst, ze kterých vět vás chci zkoušet, které považuji za lehké a které za těžké (a také hlasovat o dvou, které se zkoušet nebudou).

Zkušební termíny jsou vypsány v SISu (čtyři -- můžete se zapisovat i na termíny vypsané kol. Ratajem). Další termín bude vypsán zhruba měsíc po konci zkouškového, poslední termín koncem září.

2. bonifikační písemka se koná tento pátek v 14:30 v S3. Vzorové řešení Téma: řady, limity a derivace (průběhy funkcí ještě ne, ty budou až ve zkouškových písemkách). Poznámky, kalkulačky atp. nejsou povoleny. Můžete se podívat na ukázkovou písemku.

Podle 1. bonif. písemky jsem sepsal několik typických chyb. Týkají se zejména limit posloupností, ale poučné jsou myslím všeobecně.

Pozor změna!!
Zkouškové termíny písemné části:

19.1. a 16.2. - oboje pondělí od 11:30 v S9.
27.1. a 10.2. - oboje úterý 13:00 v K1.

Ústní část bude následovat obvykle 1-2 dny po písemce, na Malé Straně. Výjimkou je termín 27.1., kdy ústní termíny budou až další týden. Podrobnosti brzy.

Sylabus přednášky

najdete v SISu.

Literatura

V knihovně i v prodejně skript najdete mnoho knih a skript k tématu, v SISu najdete seznam doporučených knih (pozor: tento seznam byl cca 1.10. aktualizován, pokud jste se dívali dřive, podívejte se znovu).
Žádná kniha ale neodpovídá probírané látce přesně. Na této stránce budu průběžně uvádět co bylo probráno: Jednak formou stručného přehledu na konci této stránky, jednak jako stručné zápisky --- prosím o upozornění na chyby!
Na stránce kol. Klazara můžete též najít jeho skripta k této přednášce, ovšem pozor: v době, kdy byla skripta psána měla přednáška dvojnásobný rozsah, proto budeme některé věci probírat trochu stručněji a jinak.
Může se vám hodit tabulka s derivacemi všech elementárních funkcí.
Hezké sbírky na webu: sbírka pana Pyriha sbírka pana Picka.
Chcete-li se otestovat, jak dobře rozumíte definicím z různých partií matematiky (zejména analýzy), podívejte se na několik testíků. Musíte si však poradit s angličtinou a občas s mírně odlišnou terminologií.
Animované ztvárnění užitečnosti derivace.

Cvičení

Zisk zápočtu ze cvičení je nutnou podmínkou pro účast na zkoušce. Navíc, aktivní účast na cvičení vám výrazně usnadní skládání zkoušky. Podmínky k získání zápočtu vám sdělí příslušný cvičící.
Informace pro ty, kdo mají cvičení se mnou.

Informace pro studenty kombinovaného studia.

S kolegy učícími zbylé dvě paralelky jsme si vás rozdělili abecedně podle příjmení takto: A-J Klazar, K-P Šámal a Q-Z Rataj, toto rozdělení bude závazné hlavně pro zkoušku. Obracejte se prosím na nás podle něj (individuální přesuny jsou ve zdůvodněných případech možné). Obecně lze říci, že požadavky pro udělení zápočtu a ke zkoušce jsou stejné jako u prezenčního studia. Podle svých časových možností si vyberte některého cvičícího, nejlépe k odpovídající přednášce, a domluvte se s ním na podmínkách zápočtu. Pokud možno, do konce října.

Zkouška

Zkouška bude písemná (příklady) a ústní (teorie). Podrobnější požadavky zde budou brzy uveřejněny.

V průběhu semestru budeme psát dvě bonifikační písemky -- nepovinné písemky zhruba úrovně zkouškové písemky; její výsledky vám mohou přilepšit při "ostré" zkoušce. Budou se konat v pátky 14.11. a 9.1. odpoledne (cca od 14 hod.) na Malé Straně.
Pro představu se můžete podívat na vzorové zadání zkouškové písemky.

Konzultační hodiny

v úterý od 17:20 v mé pracovně (nebo poblíž) -- místnost 323 na Malé Straně. Prosím, domluvte se předem, že chcete přijít.

Co se dělo na přednáškách

1. přednáška 7.10.2008: Organizační poznámky (zápočty, zkoušky, bonifikační písemky). Plán na zimní semestr (posloupnosti, řady, funkce). Proč dbát na přesné vyjadřování (odmocnina ze dvou se "rovná" dvěma). Jak vypadá důkaz: Odmocnina ze dvou je iracionální (důkaz sporem). Bernoulliova nerovnost (důkaz matematickou indukcí). Stručný přehled o výrocích.
2. přednáška 14.10.2008: Ukázali jsme si, jak Z (celá čísla) vznikne rozšířením N (přirozená čísla) tak, aby šlo odčítat, Q (rac. čísla) rozšířením Z tak, aby šlo dělit, a poté R vznikne rozšířením Q tak, aby šlo dělat supremum. Neboli, R je uspořádané těleso kde každá neprázdná shora omezená množina má supremum. Důkaz existence infima (pro neprázdné zdola omezené množiny) a archimédovské vlastnosti reálných čísel.
3. přednáška 21.10.2008: Ještě o reálných číslech: hustota racionálních a iracionálních čísel, existence odmocniny, trojúhelníková nerovnost. Posloupnosti: definice (posloupnost, omezená a spol., rostoucí a spol., limita). Jednoduché větičky: jednoznačnost limity, existence limity zaručuje omezenost. Chybka: na konci důkazu Věty 1 (jednoznačnost limity) jsem napsal "menší než 2 epsilon" místo správného "větší než 2 epsilon".
žádná přednáška 28.10.2008: (Státní svátek.)
4. přednáška 4.11.2008: Poznámky k definici limity (hlavně o zobecněné posloupnosti a o "K epsilon"). Vlastnosti limit: vybrané posloupnosti, aritmetika limit, věty o limitě a uspořádání, o strážnících. Definice nevlastní limity.
5. přednáška 11.11.2008: Věta o limitě součinu omezené a mizející posloupnosti, dělení kladnou nulou, monotónní posl. má limitu (a využití k počítání limit rekurentně zadaných posl.), limes superior/inferior a jejich vztah k limitě, Bolzano-Weierstrassova věta.
6. přednáška 18.11.2008: BC podmínka konvergence.
Řady: defce, nutná podmínka konvergence, aritmetika, kritéria srovnávací, limitní srovnávací, Cauchyovo odmocninové.
7. přednáška 27.11.2008: d'Alambertovo kriterium. Příklad, k čemu je dobré vědět, zda řada konverguje. Raabeovo kriterium (bez dk). Kondenzační kriterium (a důsledek: konvergence řady 1/n^a). Absolutní konvergence: defce, vztah s konvergencí (pomocí BC podmínky pro řady). Abelova parciální sumace (bez dk) a Abel-Dirichletovo kriterium pro konvergenci řad "se znaménky" (dk bez některých detailů). Leibnitzova věta (zatím bez dk).
přednáška 2.12.2008 se nekoná: (Kvůli Dni otevřených dveří.) Přečtěte si prosím tento "náhradní text".
8. přednáška 9.12.2008: Dokončení řad (Leibnitzova věta, poznámky o přerovnávání). Funkce: stručný komentář k čtivu na minulý týden, definice okolí, limity a spojitosti. Věty o limitách: Heineho, jednoznačnost, aritmetika limit.
9. přednáška 16.12.2008: Další věty o limitách funkcí: omezenost funkce s vlastní limitou, aritmetika spojitých funkcí, věta o strážnících, limita složené funkce, limita monotónní funkce (bez důkazu). Derivace funkce: definice, motivace, obrázek. Funkce, která má derivaci je v přísl. bodě spojitá. Aritmetika derivací (dk jen pro součet a součin). Derivace složené funkce (kus dk zatím chybí).
10. přednáška 6.1.2009: Dokončení důkazu pravidla pro derivování složené funkce. Derivace inverzní funkce. L'Hospitalovo pravidlo (zatím bez důkazu). Jednostranná derivace coby jednostranná limita derivací. Vlastnosti spojitých funkcí -- zatím jen Darbouxova věta.
11. přednáška 13.1.2009: Spojitá funkce nabývá maxima a minima, je tudíž spojitá. Inverzní funkce ke spojité monotónní je spojitá. Fermatova, Rolleova věta. Lagrangeova věta o střední hodnotě. Jak využít derivace na zkoumání vlastností funkcí (monotonie (s dk), Konvexita, konkavita (bez dk)).

1. bonif. písemka

1. bonifikační písemka proběhla 14.11. Testovala, jak

zacházet s limitami použitím věty o aritmetice limit, věty o strážnících, apod.
používat "běžné triky": vytknutí převládajícího členu, "rozšiřování rozdílu odmocnin"
u rekurentní posloupnosti zjistit zda má a jakou má limitu (v případech, kdy jde využít věta o konvergenci monotónní posloupnosti)

Příklady byly bodovány 0 až 5 body. Příklady, za které jste získali alespoň 4 body, se budou započítávat ke zkoušce; takovéto body se sečtou za obě bonifikační písemky. Vnikne číslo B, pokud dále Z je počet bodů, které získáte za zkouškovou písemku (0 ≤ Z ≤ 50), je váš bodový zisk C := min(min(B,20)+Z,50). (K úspěšnému složení písemné části je třeba C ≥ 30.)