Zde se bude postupně objevovat souhrn řešených příkladů ze cvičení. Prosím reportujte chyby jakéhokoliv druhu. Za matematickou chybu nabízím dva body (počítané jako za domácí úkol) a po jednom bodě za numerickou či gramatickou chybu nebo překlep. Pokud by něco bylo nejasné, prosím zeptejte se na cvičení nebo mailem. Pokud byste chtěli, abych doplnil řešení nějakých typů příkladů, tak mi dejte vědět emailem. Ale upozorňuji, že den před cvičením je pozdě.
Pátá písemka.
Procvičování teorie, dotazy... Můj textík o dualitě a řešené příklady probírané v minulých letech (dualita je označená jako 9. cvičení -- strana 15, 16): dualita + řešené příklady.
Dorozebrání vzorové písemky, matice derivace polynomu jako další lineární zobrazení.
Čtvrtá písemka.
Spojitost mezi bázemi a lineárními zobrazeními. Matice lineárního zobrazení vzhledem k daným bazím. Příklady ze zkouškové písemky Milana Hladíka (viz vzorová písemka).
Pokračování lineární závislost, nezávislost, doplnění na bázi, určování souřadnic vůči bázi, matice přechodu, Věta o dimenzi lineárního obalu sjednocení dvou podprostorů. Komentáře k tvrzení, že dimenze řádkového prostoru a dimenze sloupcového prostoru se rovnají.
Třetí písemka. Vektorové prostory, lineární závislost, nezávislost, báze. Příklady 1, 2, 3, 4 z pdf.
Shamirovo sdílení tajemství (Shamir's Secret Sharing) jako příklad užitečnosti polynomů a konečných těles. Praktický příklad počítání Shamirova protokolu nad tělesem celých čísel modulo 11 (jen řešení soustavy rovnic, Lagrangeovy polynomy budou někdy příště).
Definice vektorového prostoru, podprostoru, ověřování definice. Definice lineárního obalu, intuitivní a geometrický význam těchto pojmů.
Intuice za generátorem, bází, souřadnicemi -- příště navážeme více formálně a budeme počítat příklady.
Druhá písemka. Procvičování grup a těles.
Procvičování invertování matic a násobení matic. Důkazy z definice komutativity maticového sčítání A+B=B+A, důkaz z definice asociativity maticového násobení A(BC) = (AB)C. Úvod do lineárních zobrazení, lineární zobrazení v rovině: zvětšení, zkosení, prodloužení souřadnice, otočení okolo počátku. Pomocí matice otočení okolo počátku nahlédnuty středoškolské vzorce sinus a cosinus součtu. Doporučuji podívat se na http://tutor.fi.muni.cz/, kde si můžete mimo jiné hrát s lineárními zobrazeními.
Imatrikulace, cvičení se nekoná.
První písemka. Násobení matic a jejich vlastnosti (nekomutativita, asociativita, distributivita). Vysvětlení, proč násobení inverzní maticí komutuje (význam inverzní matice zprava jako řešení soustavy rovnic s mnoha pravými stranami (tj. zprava) a zároveň jako ekvivalentní úpravy, které převedou matici na matici identity (tj. zleva)). Všechny příklady až na poslední z pdf. Pro neuronové sítě alternativní aktivační funkce Swish místo sigmoidu a ReLU.
Počítání řešení soustav a provedení zkoušky (i s parametrem) pomocí Gaussovy i Gauss-Jordanovy eliminace. Zavedení konečných těles modulo prvočíslo a počítání s nimi. Násobení matice vektorem je jen provedení zkoušky. Násobení matice maticí jako provedení několika zkoušek najednou pro jednu soustavu rovnic a různé pravé strany.
Komplexní čísla z rychlíku. Geometrické interpretace soustav rovnic. Počítání řešení soustav a provedení zkoušky (i s parametrem). Příklady viz pdf (nestihli jsme převody mezi obecným a parametrickým vyjádřením přímky, viz řešené příklady).
Motivace k studiu lineární algebry, přehled látky, kterou budeme probírat a některé vztahy k ostatním disciplínám. Na přání posluchačů opakování definic relací.
Výsledky zveřejňuji jen pod přezdívkou. Pokud ji nemám, nezveřejňuji.
Viz SIS. K udělení zápočtu je potřeba získat alespoň 65% bodů z písemek psaných v průběhu semestru. Dodatečné body je možno získat za aktivní účast na cvičení. Případný nedostatečný bodový zisk je možno nahradit řešením doplňujících domácích úkolů (obvykle zadány koncem semestru, nejpozději na posledním cvičení).