NMAI058 Lineární algebra II - LS 2018/2019

Sylabus

Prostory se skalárním součinem. Ortogonální (resp. unitární) matice. Determinanty. Pozitivně (semi)definitní matice. Vlastní čísla, zvl. symetrických matic. Aplikace lineární algebry.

Podrobný vzorový sylabus na stránkách Jiřího Matouška: [pdf].

Zkouška

  • Na zkoušku se přihlašujte přes SIS. Termíny zkoušky: 31.5., 4.6., 11.6., 17.6. a 20.6.
  • Zkouška je ústní a začíná náhodným výběrem jednoho z témat uvedených zde: [pdf].
  • Správné zpracování vylosovaného tématu zahrnuje: definování příslušných pojmů, formulace souvisejících tvrzení, alespoň jeden netriviální důkaz a také souvislost s ostatními pojmy a výsledky.
  • Součástí zadání bude i několik kvízových otázek.

Skripta

  • Milan Hladík: Lineární algebra (nejen) pro informatiky, elektronická skripta verze A4 [odkaz] a pro Kindle [odkaz]

Probráno

  • 21. 2. 2019
    prostory se skalárním součinem, norma, příklady, Cauchy-Schwarzova nerovnost
  • 28. 2. 2019
    ortonormální systémy, Fourierovy koeficienty, Gramova-Schmidtova ortogonalizace
  • 7. 3. 2019
    ortogonální doplněk a jeho vlastnosti, ortogonální projekce - hlavní věta a souvislosti, Gramova matice
  • 14. 3. 2019
    ortogonální doplněk a projekce pro standardní skalární součin, metoda nejmenších čtverců, ortogonální matice
  • 21. 3. 2019
    determinant, determinant transponované matice, řádková linearita, vliv elementárních řádkových úprav, algoritmus, multiplikativnost determinantu, Cramerovo pravidlo
  • 28. 3. 2019
    Laplaceův rozvoj determinantu, adjungovaná matice a aplikace, geometrická interpretace determinantu, vlastní čísla - definice a základní vlastnosti
  • 4. 4. 2019
    vlastní čísla - charakterizace, charakteristický polynom, součet a součin vlastních čísel, matice společnice
  • 11. 4. 2019
    podobnost matic, diagonalizovatelnost matic a její charakterizace, vlastní vektory různých vlastních čísel
  • 18. 4. 2019
    Jordanova normální forma matice a důsledky, vlastní čísla a diagonalizovatelnost pro symetrické matice
  • 25. 4. 2019
    alternativní tvar spektrálního rozkladu, Perronova věta pro nezáporné matice, Markovovy řetězce, Gerschgorinovy disky a použití, mocninná metoda pro výpočet vlastních čísel
  • 2. 5. 2019
    positivně (semi)definitní matice - definice, vlastnosti a ekvivalentní podmínky, metody na testování positivní definitnosti - rekurentní vzorec, Gaussova eliminace, Choleského rozklad (myšlenka algoritmu)
  • 9. 5. 2019
    testování positivní definitnosti - Choleského rozklad (věta a algoritmus), Sylvestrovo kritérium pro positivní definitnost a positivní semidefinitnost
  • 16. 5. 2019
    aplikace positivně (semi)definitních matic - skalární součin v reálném aritmetickém prostoru a odmocnia z matice, bilineární a kvadratické formy, vliv změny báze na matici kvadratické formy
  • 23. 5. 2019
    Sylvestrův zákon setrvačnosti, diagonalizace, kvadratické formy v geometrii

Další zdroje

  • Jiří Tůma: Přednáška Lineární algebra I (pro informatiky), elektronická skripta ke stažení na stránce předmětu [odkaz]
  • Ladislav Bican: Lineární algebra a geometrie, Academia 2009

K procvičení

  • Milan Hladík: Vzorové cvičení z lineární algebry [odkaz]
  • Jiří Fiala: Sbírka úloh z matematiky [odkaz]
  • Ladislav Bican: Lineární algebra v úlohách, SPN 1979
  • Jindřich Bečvář: Sbírka úloh z lineární algebry, SPN 1975

Cvičení

Videa

  • Záznam přednášek Gilberta Stranga o linerání algebře na MIT [odkaz]
  • Série Essence of linear algebra od 3Blue1Brown [odkaz]

"Unfortunately, no one can be told what the matrix is. You have to see it for yourself."
- Morpheus