\def\dil#1#2#3#4{
\section{#4 (#2) \\ \emph{Zapsali: #3}}
%\leftline{\emph{Zapsal: #3}} 
}

\dil{1}{1.3.2012}{Duc Trung Ha \& David Pěgřímek}{Úvod do ODR} 

% "undo" pro "zapsal" v jednotnem cisle
\def\dil#1#2#3#4{
\section{#4 (#2) \\ \emph{Zapsal: #3}}
%\leftline{\emph{Zapsal: #3}} 
}

\newtheorem*{sol}{Řešení}

\subsection{Úvod, přehled.} 
\begin{itemize}
  \renewcommand{\labelitemi}{$\spadesuit$}
  \item Obyčejné diferenciální rovnice

  {\sl aneb co by měl každý správný \uv{matfyzák} znát!\/}
  \renewcommand{\labelitemi}{$\heartsuit$}
  \item Funkcionální analysa

  {\sl aneb lze skloubit algebru s~matematickou analysou?\/}
  \renewcommand{\labelitemi}{$\clubsuit$}
  \item Teorie míry a Lebesgueův integrál

  {\sl aneb jak matematicky popsat obsah a~objem; jak rozsekat hrášek, aby
    z~něho šlo postavit slunce, a jak to vše souvisí s~níže uvedeným
    obrázkem?\/}%
    \footnote{Na obrázku je znázorněn \uv{Banachův-Tarskiho paradox}.}

  \renewcommand{\labelitemi}{$\diamondsuit$}
  \item Další témata dle zájmů studentů

  {\sl aneb co se jinam nevešlo...\/}
\end{itemize}

\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}    % undo changes for \labelitemi

\vskip .8cm
%\hfil\includegraphics[scale=0.5]{./img01/pic.png}\\[1cm]\hfil

\oddel

\subsection{Obyčejné diferenciální rovnice: co jsou a proč jsou.} 
V~této části se budeme zabývat {\sl obyčejnými diferenciálními rovnicemi\/}%
\footnote{zkráceně {\sl ODR\/}}
a~metodami používanými k~jejich vyřešení.

\begin{Definicenum}
Značení $f{\overbrace{'\cdots'}^{n}}(x)$, někdy též $f^{(n)}(x)$,
$f{\overbrace{'\cdots'}^{n}}$ či jen $f^{(n)}$, bude přirozeně značit
$n$-tou derivaci funkce $f$ podle $x$.
Přesná induktivní definice jest
\[f^{(n)}(x) := \left\{
  \begin{array}{l l}                  
    f(x) & \textrm{iff } n = 0\\
    \lbrack f^{(n-1)}(x)\rbrack' & \textrm{iff } n \in \zet^+\\
  \end{array} \right.\]
\end{Definicenum}

\subsubsection{Motivační příklad}
\begin{Prikl}
  Najděte funkci $y(x)$ (tj.~funkci $y$ v proměnné $x$) takovou, že
  \[y' + 2xy = 0\]
\end{Prikl}

\begin{sol}
  Jako \uv{správní matfyzáci} si výsledek tipneme\/%
  \footnote{Ve skutečnosti jsme k~němu došli výpočtem, ale zatím nepředbíhejme.}
  a uvidíme, jestli odpovídá zadání:
  \[y(x) = c \cdot e^{-x^2},\]
  pro $x\in\er$ a~konstantní parametr $c\in\er$.
\end{sol}

Pro kontrolu dosadíme:
\[y'(x) + 2xy = (c \cdot e^{-x^2})' + 2xy = c \cdot e^{-x^2}(-2x) + 2x(c \cdot
    e^{-x^2}) = 0.\]
Tipli jsme si tedy správně.
Ale jsou to skutečně všechna možná řešení?

\subsubsection{Aplikace ODR}
\begin{packed_enum}
  \item {\bf volný pád}

  Budeme zkoumat pohyb padajícího míčku v různých prostředích a v různém směru
  letu.
  \begin{packed_enum}
    \item {\bf Varianta \uv{vakuum}}
    \begin{Priklnum}
      Upustíme míček ve~vakuu (tedy zanedbáváme tření a jiné nepříjemnosti).
    \end{Priklnum}
    \vskip 1em
%    \hfil\includegraphics[scale=0.5]{./img01/ma_sila.eps}\hfil
    \vskip 2em

    Buď $y(t)$ funkce hloubky (vzhledem k~počáteční výšce) v~závislosti na čase.
    Slavný Druhý Newtonův pohybový zákon tvrdí, že
    \[\bf F {\rm = m} \cdot a,\]
    kde ${\bf F}$ a $m$ jsou (z~pohledu matematika) nezajímavé konstanty.
    Ovšem zrychlení {\bf a} lze vyjádřit jako
    \[{\bf a} = -y''%
    \footnote{Znaménko \uv{$-$} je pro správný směr vektoru zrychlení.}\]

    Protože ${\bf F}$ a $m$ jsou konstantní, snadno nahlédneme
    \[y'' = c \mathrm{, pro} \; c>0.\]
    Těmto rovnicím se říká {\sl ODR 2.~řádu\/}, neb se v~nich vyskytuje
    2.~derivace jako nejvyšší ze~všech derivací.

    \item {\bf Varianta \uv{ve~vzduchu}}
    \begin{Priklnum}
      Upustíme míček tentokrát ve~vzduchu (tedy tření a~jiné nepříjemnosti už
      nám tolik nevadí, proto s~nimi i počítáme).
    \end{Priklnum}

    Lze přijít na to (experimentálně či vlastní vírou), že odpor vzduchu je
    přímo úměrný čtverci rychlosti, v~matematické notaci
    \[\uparrow\mathrm{odpor} \sim \; \uparrow (y')^2.\]

    Ten očividně v~lineárně míře snižuje zrychlení pádu, konkrétně
    \[y'' = c - k \cdot (y')^2,\]
    kde $c>0$ je konstanta z~předchozí varianty úlohy a $k>0$ je nějaká nová
    konstanta (míry vlivu odporu vzduchu na~pád).

    \vfil\eject

    \item {\bf Varianta \uv{z~dálky}}
    \begin{Priklnum}
      Nyní upustíme míček z~velké dálky, lépe řečeno z~\uv{vysoké výšky}
      (jakoby z~kosmu).
    \end{Priklnum}

    Buď $y(t)$ funkce vzdálenosti míčku od~středu Země%
    \footnote{jakožto planety Země s~velkým počátečním písmenem v~názvu}
    v~závislosti na čase.
    Snadno se nahlédne (ale důkaz přenechme fysikům), že
    \[y'' = {c\over y^2}.\]
  \end{packed_enum}
  \item {\bf vývoj populace}

    Buď $y(t)$ funkce počtu jedinců (bakterií, králíků, uživatelů
    Facebooku...) v~čase $t$.
    Můžeme pak vývoj takové populace modelovat několika způsoby,
    např.~jednoduchou {\sl ODR 1.~řádu\/}%
    \footnote{diferenciální rovnicí s~1.~derivací jakožto nejvyšší}
    \[y' = c \cdot y\]
    či \uv{propracovanější} {\sl ODR 1.~řádu\/} beroucí i v~potaz omezení shora
    (velikost Petriho misky, rozloha pastviny, kapacita Internetu...)
    \[y' = c \cdot (K - y),\]
    kde $K$ bude representovat tento horní strop pro kardinalitu populace.

  \item {\bf vedení tepla}

    Buď $u(x, t)$ funkce teploty v~čase $t$ a v~bodě $x$ (pro jednoduchost
    uvažujme $1$-rozměrný případ -- i tak to bude složité ažaž).
    Vedení tepla lze modelovat \uv{parciální diferenciální rovnicí} (obsahující
    parciální derivace)
    \[{\partial u(x, t) \over \partial t} = c \cdot {\partial^2 u \over
      \partial x^2}\]
    Uvědomíme-li si, co je to z~fysikálního hlediska \uv{tok tepla}, okamžitě
    nás napadne závislost
    \[\uparrow \mathrm{tok} \sim \; \uparrow {\partial u \over \partial x}.\]
    Nakonec nahlédneme, jak souvisí změna energie v~daném bodě s~tokem tepla,
    a dosadíme takto:
    \[\uparrow \Delta \mathrm{Energie} \sim \; \uparrow {\der x} \mathrm{toku}
    \sim \; \uparrow {\partial^2 u \over \partial x^2}.\]

    {\sl Poznámka: Dosti podobným jevem ze~světa finančnictví a~cenných papírů
      je takzvaná \uv{Blackova-Scholesova rovnice} modelující hodnotu opcí
      evropského typu.\/}
\end{packed_enum}

\oddel

\subsection{Řešení základních typů.} 

\begin{Priklnum}
Vyřešte ODR 2. řádu 
\[y''(t) = c\]
pro nějakou pevně danou konstantu $c \in \er$.
\end{Priklnum}

\parindent=2em

Tuto úlohu snadno vyřeší i~student 1.~ročníku Informatiky na MFF UK.
Nejde totiž o~nic \uv{světoborného}, pouze se dvakrát nalezne primitivní
funkce:
\begin{align*}
y'(t) &= c \cdot t + d \\
y(t) &= {c \cdot t^2 \over 2} + d \cdot t + e
\end{align*}

Tento příklad je spíše ilustrativní.
Znázorňuje 1 z možných cílů, kterých chceme při řešení ODR
dosáhnout -- rovnici přímo vyřešit.

Na zcela opačném konci spektra obtížnosti leží 1 ze 7 {\sl miléniových
problémů\/}, tzv.~\uv{Na\-vierovy-Stokesovy rovnice} (konkrétně rozhodnout,
zda-li jsou vždy ře\-ši\-tel\-né).

Řešení tohoto otevřeného problému je asi stejně triviální jako rozřešit problém
\uv{P~vs.~NP} či dokázat \uv{Riemannovu hypotesu} -- tedy úloha pro studenta
Bc.~studia na~MFF~UK těžká více než dost.%
\footnote{Ovšem ne úplně nemožné, jak lze vidět z příkladu dnes již vyřešené
\uv{Poincarého domněnky}.}

Tyto rovnice jsou na~druhou stranu ukázkou jiného cíle při~řešení
diferenciálních rovnic, tedy spíše analysovat vlastnosti (neboť úplné vyřešení
by bylo příliš obtížné).

\begin{Definice} 
ODR (1.~řádu) je rovnice tvaru \uv{$y' = f(x, y)$} pro $f: D \rightarrow \er$,
kde $D \subseteq \er^2$.
Přesněji se snažíme pro nějaký interval $J \subseteq \er$ nalézt funkci $y(x):
J \rightarrow \er$ takovou, že $y'(x) = f(x, y(x))$ při $(x, y(x)) \in D$.
\end{Definice} 

Na~obrázku to lze nahlédnout tak, že na~oblasti $D$ máme zadané
tzv.~\uv{směrové pole} (znázorňující požadované náklony případných tečen
v~daných bodech).
Snažíme se jím \uv{protáhnout} nějakou funkci, tak aby tečny v~každém bodě
respektovaly zadání směrového pole.
\vskip 1em
%\hfil\includegraphics[scale=0.5]{./img01/ma_pole.eps}\hfil
\vskip 2em

{\sl Poznámka: Toto byl tzv.~\uv{explicitní zápis} ODR.
  \uv{Implicitním zápisem} ODR (obecně $n$-tého řádu) je míněna rovnice $F(x,
  y, \dots, y^{(n)}) = 0$.\/}

\nadpis{1. typ: $y' = f(x)$ (primitivní funkce)} 
V~každé $x$-ové souřadnici je funkcí $f(x)$ pevně zadána žádaná směrnice%
\footnote{tangens úhlu naklonění tečny v příslušném bodě}
funkce $y(x)$.
To je znázorněno na~následujícím obrázku:
%% graf x^2 %%
\vskip 1em
%\hfil\includegraphics[scale=0.5]{./img01/ma_reseni.eps}\hfil
\vskip 2em

Tento typ známe již z~MA2, jedná se o~tzv. \uv{primitivní~funkce}.
Ty jsou jednoznačně dány {\sl až\/} na~konstantu:
\[y(x) = \int f(x) + C\]
pro $C \in \er$.

Při řešení ODR máme však často zadány i~počáteční podmínky (původní počet
bakterií, králíků, uživatelů Facebooku...) a to ve~tvaru $y(x_0) = y_0$.
To nám pomůže pro~určení jednoznačné primitivní funkce {\bf včetně} konstanty:
\[y(x) = y_0 + \int_{x_0}^{x} f(x)\]
Všimněme si, že můžeme provést \uv{pseudokontrolu} korektnosti při~dosazení
krajní hodnoty $x := x_0$ a~že povede ke~správné počáteční podmínce.

\nadpis{2. typ: $y' = g(y)$ (jistě ne primitivní funkce)}
Uvědomme si, že jde o~velice podobnou úlohu jako předtím -- %
v~každé tentokrát $y$-ové souřadnici je funkcí $g(y)$ pevně zadána žádaná
směrnice pro funkci $y(x)$.
Obrázkově:
%% graf %%
\vskip 1em
%\hfil\includegraphics[scale=0.5]{./img01/ma_gy.eps}\hfil
\vskip 2em

Pro $g(y) \equiv 0$ je situace velice jednoduchá.
Rovnice se zjednoduší na~$y'(x) = 0$, tedy funkce má lokální minimum i~maximum
v~každém bodě, neboli lidsky řečeno je {\sl konstantní\/}.

Pro $g(y) \not\equiv 0$ si ukážeme (mnemotechnický) postup řešení, jaký
používají engineeři a economové.
Rozepíšeme funkci $y'$ jako
\[{\dd y \over \dd x} = g(y).\]
Protože $g(y) \not\equiv 0$, můžeme prohodit pravou stranu a jmenovatel
\[{\dd y \over g(y)} = \dd x\]
a přirozeně nás napadne zintegrovat obě strany
\[\int{\dd y \over g(y)} = \int\dd x.\]
Označíme-li primitivní funkci z~levé strany jako $H(y)$,%
\footnote{Pozor, nepleťte si s~funkcí entropie!}
získáme finální tvar
\[H(y) = x+C,\]
pro $C \in \er$.
To vypadá poněkud typově špatně, ale rovnice ve~skutečnosti obsahuje pouze
funkce v~proměnné $x$ takto
\[H(y(x)) = x+C.\]

\begin{Priklnum}
\begin{align*}
y' &= -2y\\
{\dd y \over \dd x} &= -2y\\
\int{\dd y \over -2y} &=  \int\dd x\\
\int{\dd y \over -2y} &=  x + C\\
\ln |y| &=  -2x-2C\\
y &=  \pm e^{-2x+k}\\
y &=  A \cdot e^{-2x},\\
\end{align*}
\vskip -2em
kde $k \in \er$ a $A \in \er\setminus{\{0\}}$ jsou nějaké nezajímavé konstanty.
Tudíž $y = A \cdot e^{-2x}$ pro $A \in \er$ jsou řešení této ODR.
Vyvstává přirozená otázka: \uv{Jsou všechna?} -- Ano.
\end{Priklnum}
\nastin
Nahlédneme, že
\[(y(x) \cdot e^{2x})' = {\underbrace{y'}_{=-2y}} \cdot e^{2x} + y \cdot 2
\cdot e^{2x} = 0,\]
neboli $y(x) \cdot e^{2x}$ musí být nutně konstantní (pro $y(x)$ splňující
danou ODR).
Ta v~našem případě odpovídá výše uvedené konstantě $A$.
\end{proof}

Nyní se vrátíme zpátky do~kůží \uv{matfyzáků} a ukážeme si (aspoň náznakem),
proč tato metoda vůbec může fungovat.

\nastin
Hledáme $y = \phi(x) <::::::> x = \phi^{-1}(y)$.
Aplikací věty {\sl o~derivaci inversní funkce\/} z~MA1 dostaneme
\[x' = [\phi^{-1}(y)]' = {1 \over \phi'(x)} = {1 \over g(y)},\]
kde druhá rovnost je zmiňovaná derivace inversní funkce a poslední rovnost jsme
získali ze zadání ODR.
Tedy můžeme nyní korektně zintegrovat obě strany.
\end{proof}

\noi {\bf Ukázka (ne)jednoznačnosti.}

\begin{Priklnum}
\[y' = \sqrt{|y|}\]
BÚNO $y>0$.
\begin{align*}
2\sqrt{y} = \int {\dd y \over \sqrt{y}} &= \int \dd x = x + C\\
y &= {(x+c)^2 \over 4}\\
\end{align*}
%\hfil\includegraphics[scale=0.25]{./img01/ma_parabola.eps}\hfil

Pokračování příště$\dots$
\end{Priklnum}

\parindent=0pt