\def\dil#1#2#3#4{
\section{#4 (#2) \\ \emph{Zapsali: #3}}
%\leftline{\emph{Zapsal: #3}} 
}

\dil{1}{1.3.2012}{Duc Trung Ha \& David P�g��mek}{�vod do ODR} 

% "undo" pro "zapsal" v jednotnem cisle
\def\dil#1#2#3#4{
\section{#4 (#2) \\ \emph{Zapsal: #3}}
%\leftline{\emph{Zapsal: #3}} 
}

\newtheorem*{sol}{�e�en�}

\subsection{�vod, p�ehled.} 
\begin{itemize}
  \renewcommand{\labelitemi}{$\spadesuit$}
  \item Oby�ejn� diferenci�ln� rovnice

  {\sl aneb co by m�l ka�d� spr�vn� \uv{matfyz�k} zn�t!\/}
  \renewcommand{\labelitemi}{$\heartsuit$}
  \item Funkcion�ln� analysa

  {\sl aneb lze skloubit algebru s~matematickou analysou?\/}
  \renewcommand{\labelitemi}{$\clubsuit$}
  \item Teorie m�ry a Lebesgue�v integr�l

  {\sl aneb jak matematicky popsat obsah a~objem; jak rozsekat hr�ek, aby
    z~n�ho �lo postavit slunce, a jak to v�e souvis� s~n��e uveden�m
    obr�zkem?\/}%
    \footnote{Na obr�zku je zn�zorn�n \uv{Banach�v-Tarskiho paradox}.}

  \renewcommand{\labelitemi}{$\diamondsuit$}
  \item Dal�� t�mata dle z�jm� student�

  {\sl aneb co se jinam neve�lo...\/}
\end{itemize}

\renewcommand{\labelitemi}{$\bullet$}    % undo changes for \labelitemi

\vskip .8cm
%\hfil\includegraphics[scale=0.5]{./img01/pic.png}\\[1cm]\hfil

\oddel

\subsection{Oby�ejn� diferenci�ln� rovnice: co jsou a pro� jsou.} 
V~t�to ��sti se budeme zab�vat {\sl oby�ejn�mi diferenci�ln�mi rovnicemi\/}%
\footnote{zkr�cen� {\sl ODR\/}}
a~metodami pou��van�mi k~jejich vy�e�en�.

\begin{Definicenum}
Zna�en� $f{\overbrace{'\cdots'}^{n}}(x)$, n�kdy t� $f^{(n)}(x)$,
$f{\overbrace{'\cdots'}^{n}}$ �i jen $f^{(n)}$, bude p�irozen� zna�it
$n$-tou derivaci funkce $f$ podle $x$.
P�esn� induktivn� definice jest
\[f^{(n)}(x) := \left\{
  \begin{array}{l l}                  
    f(x) & \textrm{iff } n = 0\\
    \lbrack f^{(n-1)}(x)\rbrack' & \textrm{iff } n \in \zet^+\\
  \end{array} \right.\]
\end{Definicenum}

\subsubsection{Motiva�n� p��klad}
\begin{Prikl}
  Najd�te funkci $y(x)$ (tj.~funkci $y$ v prom�nn� $x$) takovou, �e
  \[y' + 2xy = 0\]
\end{Prikl}

\begin{sol}
  Jako \uv{spr�vn� matfyz�ci} si v�sledek tipneme\/%
  \footnote{Ve skute�nosti jsme k~n�mu do�li v�po�tem, ale zat�m nep�edb�hejme.}
  a uvid�me, jestli odpov�d� zad�n�:
  \[y(x) = c \cdot e^{-x^2},\]
  pro $x\in\er$ a~konstantn� parametr $c\in\er$.
\end{sol}

Pro kontrolu dosad�me:
\[y'(x) + 2xy = (c \cdot e^{-x^2})' + 2xy = c \cdot e^{-x^2}(-2x) + 2x(c \cdot
    e^{-x^2}) = 0.\]
Tipli jsme si tedy spr�vn�.
Ale jsou to skute�n� v�echna mo�n� �e�en�?

\subsubsection{Aplikace ODR}
\begin{packed_enum}
  \item {\bf voln� p�d}

  Budeme zkoumat pohyb padaj�c�ho m��ku v r�zn�ch prost�ed�ch a v r�zn�m sm�ru
  letu.
  \begin{packed_enum}
    \item {\bf Varianta \uv{vakuum}}
    \begin{Priklnum}
      Upust�me m��ek ve~vakuu (tedy zanedb�v�me t�en� a jin� nep��jemnosti).
    \end{Priklnum}
    \vskip 1em
%    \hfil\includegraphics[scale=0.5]{./img01/ma_sila.eps}\hfil
    \vskip 2em

    Bu� $y(t)$ funkce hloubky (vzhledem k~po��te�n� v��ce) v~z�vislosti na �ase.
    Slavn� Druh� Newton�v pohybov� z�kon tvrd�, �e
    \[\bf F {\rm = m} \cdot a,\]
    kde ${\bf F}$ a $m$ jsou (z~pohledu matematika) nezaj�mav� konstanty.
    Ov�em zrychlen� {\bf a} lze vyj�d�it jako
    \[{\bf a} = -y''%
    \footnote{Znam�nko \uv{$-$} je pro spr�vn� sm�r vektoru zrychlen�.}\]

    Proto�e ${\bf F}$ a $m$ jsou konstantn�, snadno nahl�dneme
    \[y'' = c \mathrm{, pro} \; c>0.\]
    T�mto rovnic�m se ��k� {\sl ODR 2.~��du\/}, neb se v~nich vyskytuje
    2.~derivace jako nejvy��� ze~v�ech derivac�.

    \item {\bf Varianta \uv{ve~vzduchu}}
    \begin{Priklnum}
      Upust�me m��ek tentokr�t ve~vzduchu (tedy t�en� a~jin� nep��jemnosti u�
      n�m tolik nevad�, proto s~nimi i po��t�me).
    \end{Priklnum}

    Lze p�ij�t na to (experiment�ln� �i vlastn� v�rou), �e odpor vzduchu je
    p��mo �m�rn� �tverci rychlosti, v~matematick� notaci
    \[\uparrow\mathrm{odpor} \sim \; \uparrow (y')^2.\]

    Ten o�ividn� v~line�rn� m��e sni�uje zrychlen� p�du, konkr�tn�
    \[y'' = c - k \cdot (y')^2,\]
    kde $c>0$ je konstanta z~p�edchoz� varianty �lohy a $k>0$ je n�jak� nov�
    konstanta (m�ry vlivu odporu vzduchu na~p�d).

    \vfil\eject

    \item {\bf Varianta \uv{z~d�lky}}
    \begin{Priklnum}
      Nyn� upust�me m��ek z~velk� d�lky, l�pe �e�eno z~\uv{vysok� v��ky}
      (jakoby z~kosmu).
    \end{Priklnum}

    Bu� $y(t)$ funkce vzd�lenosti m��ku od~st�edu Zem�%
    \footnote{jako�to planety Zem� s~velk�m po��te�n�m p�smenem v~n�zvu}
    v~z�vislosti na �ase.
    Snadno se nahl�dne (ale d�kaz p�enechme fysik�m), �e
    \[y'' = {c\over y^2}.\]
  \end{packed_enum}
  \item {\bf v�voj populace}

    Bu� $y(t)$ funkce po�tu jedinc� (bakteri�, kr�l�k�, u�ivatel�
    Facebooku...) v~�ase $t$.
    M��eme pak v�voj takov� populace modelovat n�kolika zp�soby,
    nap�.~jednoduchou {\sl ODR 1.~��du\/}%
    \footnote{diferenci�ln� rovnic� s~1.~derivac� jako�to nejvy���}
    \[y' = c \cdot y\]
    �i \uv{propracovan�j��} {\sl ODR 1.~��du\/} berouc� i v~potaz omezen� shora
    (velikost Petriho misky, rozloha pastviny, kapacita Internetu...)
    \[y' = c \cdot (K - y),\]
    kde $K$ bude representovat tento horn� strop pro kardinalitu populace.

  \item {\bf veden� tepla}

    Bu� $u(x, t)$ funkce teploty v~�ase $t$ a v~bod� $x$ (pro jednoduchost
    uva�ujme $1$-rozm�rn� p��pad -- i tak to bude slo�it� a�a�).
    Veden� tepla lze modelovat \uv{parci�ln� diferenci�ln� rovnic�} (obsahuj�c�
    parci�ln� derivace)
    \[{\partial u(x, t) \over \partial t} = c \cdot {\partial^2 u \over
      \partial x^2}\]
    Uv�dom�me-li si, co je to z~fysik�ln�ho hlediska \uv{tok tepla}, okam�it�
    n�s napadne z�vislost
    \[\uparrow \mathrm{tok} \sim \; \uparrow {\partial u \over \partial x}.\]
    Nakonec nahl�dneme, jak souvis� zm�na energie v~dan�m bod� s~tokem tepla,
    a dosad�me takto:
    \[\uparrow \Delta \mathrm{Energie} \sim \; \uparrow {\der x} \mathrm{toku}
    \sim \; \uparrow {\partial^2 u \over \partial x^2}.\]

    {\sl Pozn�mka: Dosti podobn�m jevem ze~sv�ta finan�nictv� a~cenn�ch pap�r�
      je takzvan� \uv{Blackova-Scholesova rovnice} modeluj�c� hodnotu opc�
      evropsk�ho typu.\/}
\end{packed_enum}

\oddel

\subsection{�e�en� z�kladn�ch typ�.} 

\begin{Priklnum}
Vy�e�te ODR 2. ��du 
\[y''(t) = c\]
pro n�jakou pevn� danou konstantu $c \in \er$.
\end{Priklnum}

\parindent=2em

Tuto �lohu snadno vy�e�� i~student 1.~ro�n�ku Informatiky na MFF UK.
Nejde toti� o~nic \uv{sv�toborn�ho}, pouze se dvakr�t nalezne primitivn�
funkce:
\begin{align*}
y'(t) &= c \cdot t + d \\
y(t) &= {c \cdot t^2 \over 2} + d \cdot t + e
\end{align*}

Tento p��klad je sp��e ilustrativn�.
Zn�zor�uje 1 z mo�n�ch c�l�, kter�ch chceme p�i �e�en� ODR
dos�hnout -- rovnici p��mo vy�e�it.

Na zcela opa�n�m konci spektra obt��nosti le�� 1 ze 7 {\sl mil�niov�ch
probl�m�\/}, tzv.~\uv{Na\-vierovy-Stokesovy rovnice} (konkr�tn� rozhodnout,
zda-li jsou v�dy �e\-�i\-tel\-n�).

�e�en� tohoto otev�en�ho probl�mu je asi stejn� trivi�ln� jako roz�e�it probl�m
\uv{P~vs.~NP} �i dok�zat \uv{Riemannovu hypotesu} -- tedy �loha pro studenta
Bc.~studia na~MFF~UK t�k� v�ce ne� dost.%
\footnote{Ov�em ne �pln� nemo�n�, jak lze vid�t z p��kladu dnes ji� vy�e�en�
\uv{Poincar�ho domn�nky}.}

Tyto rovnice jsou na~druhou stranu uk�zkou jin�ho c�le p�i~�e�en�
diferenci�ln�ch rovnic, tedy sp��e analysovat vlastnosti (nebo� �pln� vy�e�en�
by bylo p��li� obt��n�).

\begin{Definice} 
ODR (1.~��du) je rovnice tvaru \uv{$y' = f(x, y)$} pro $f: D \rightarrow \er$,
kde $D \subseteq \er^2$.
P�esn�ji se sna��me pro n�jak� interval $J \subseteq \er$ nal�zt funkci $y(x):
J \rightarrow \er$ takovou, �e $y'(x) = f(x, y(x))$ p�i $(x, y(x)) \in D$.
\end{Definice} 

Na~obr�zku to lze nahl�dnout tak, �e na~oblasti $D$ m�me zadan�
tzv.~\uv{sm�rov� pole} (zn�zor�uj�c� po�adovan� n�klony p��padn�ch te�en
v~dan�ch bodech).
Sna��me se j�m \uv{prot�hnout} n�jakou funkci, tak aby te�ny v~ka�d�m bod�
respektovaly zad�n� sm�rov�ho pole.
\vskip 1em
%\hfil\includegraphics[scale=0.5]{./img01/ma_pole.eps}\hfil
\vskip 2em

{\sl Pozn�mka: Toto byl tzv.~\uv{explicitn� z�pis} ODR.
  \uv{Implicitn�m z�pisem} ODR (obecn� $n$-t�ho ��du) je m�n�na rovnice $F(x,
  y, \dots, y^{(n)}) = 0$.\/}

\nadpis{1. typ: $y' = f(x)$ (primitivn� funkce)} 
V~ka�d� $x$-ov� sou�adnici je funkc� $f(x)$ pevn� zad�na ��dan� sm�rnice%
\footnote{tangens �hlu naklon�n� te�ny v p��slu�n�m bod�}
funkce $y(x)$.
To je zn�zorn�no na~n�sleduj�c�m obr�zku:
%% graf x^2 %%
\vskip 1em
%\hfil\includegraphics[scale=0.5]{./img01/ma_reseni.eps}\hfil
\vskip 2em

Tento typ zn�me ji� z~MA2, jedn� se o~tzv. \uv{primitivn�~funkce}.
Ty jsou jednozna�n� d�ny {\sl a�\/} na~konstantu:
\[y(x) = \int f(x) + C\]
pro $C \in \er$.

P�i �e�en� ODR m�me v�ak �asto zad�ny i~po��te�n� podm�nky (p�vodn� po�et
bakteri�, kr�l�k�, u�ivatel� Facebooku...) a to ve~tvaru $y(x_0) = y_0$.
To n�m pom��e pro~ur�en� jednozna�n� primitivn� funkce {\bf v�etn�} konstanty:
\[y(x) = y_0 + \int_{x_0}^{x} f(x)\]
V�imn�me si, �e m��eme prov�st \uv{pseudokontrolu} korektnosti p�i~dosazen�
krajn� hodnoty $x := x_0$ a~�e povede ke~spr�vn� po��te�n� podm�nce.

\nadpis{2. typ: $y' = g(y)$ (jist� ne primitivn� funkce)}
Uv�domme si, �e jde o~velice podobnou �lohu jako p�edt�m -- %
v~ka�d� tentokr�t $y$-ov� sou�adnici je funkc� $g(y)$ pevn� zad�na ��dan�
sm�rnice pro funkci $y(x)$.
Obr�zkov�:
%% graf %%
\vskip 1em
%\hfil\includegraphics[scale=0.5]{./img01/ma_gy.eps}\hfil
\vskip 2em

Pro $g(y) \equiv 0$ je situace velice jednoduch�.
Rovnice se zjednodu�� na~$y'(x) = 0$, tedy funkce m� lok�ln� minimum i~maximum
v~ka�d�m bod�, neboli lidsky �e�eno je {\sl konstantn�\/}.

Pro $g(y) \not\equiv 0$ si uk�eme (mnemotechnick�) postup �e�en�, jak�
pou��vaj� enginee�i a economov�.
Rozep��eme funkci $y'$ jako
\[{\dd y \over \dd x} = g(y).\]
Proto�e $g(y) \not\equiv 0$, m��eme prohodit pravou stranu a jmenovatel
\[{\dd y \over g(y)} = \dd x\]
a p�irozen� n�s napadne zintegrovat ob� strany
\[\int{\dd y \over g(y)} = \int\dd x.\]
Ozna��me-li primitivn� funkci z~lev� strany jako $H(y)$,%
\footnote{Pozor, neple�te si s~funkc� entropie!}
z�sk�me fin�ln� tvar
\[H(y) = x+C,\]
pro $C \in \er$.
To vypad� pon�kud typov� �patn�, ale rovnice ve~skute�nosti obsahuje pouze
funkce v~prom�nn� $x$ takto
\[H(y(x)) = x+C.\]

\begin{Priklnum}
\begin{align*}
y' &= -2y\\
{\dd y \over \dd x} &= -2y\\
\int{\dd y \over -2y} &=  \int\dd x\\
\int{\dd y \over -2y} &=  x + C\\
\ln |y| &=  -2x-2C\\
y &=  \pm e^{-2x+k}\\
y &=  A \cdot e^{-2x},\\
\end{align*}
\vskip -2em
kde $k \in \er$ a $A \in \er\setminus{\{0\}}$ jsou n�jak� nezaj�mav� konstanty.
Tud�� $y = A \cdot e^{-2x}$ pro $A \in \er$ jsou �e�en� t�to ODR.
Vyvst�v� p�irozen� ot�zka: \uv{Jsou v�echna?} -- Ano.
\end{Priklnum}
\nastin
Nahl�dneme, �e
\[(y(x) \cdot e^{2x})' = {\underbrace{y'}_{=-2y}} \cdot e^{2x} + y \cdot 2
\cdot e^{2x} = 0,\]
neboli $y(x) \cdot e^{2x}$ mus� b�t nutn� konstantn� (pro $y(x)$ spl�uj�c�
danou ODR).
Ta v~na�em p��pad� odpov�d� v��e uveden� konstant� $A$.
\end{proof}

Nyn� se vr�t�me zp�tky do~k��� \uv{matfyz�k�} a uk�eme si (aspo� n�znakem),
pro� tato metoda v�bec m��e fungovat.

\nastin
Hled�me $y = \phi(x) <::::::> x = \phi^{-1}(y)$.
Aplikac� v�ty {\sl o~derivaci inversn� funkce\/} z~MA1 dostaneme
\[x' = [\phi^{-1}(y)]' = {1 \over \phi'(x)} = {1 \over g(y)},\]
kde druh� rovnost je zmi�ovan� derivace inversn� funkce a posledn� rovnost jsme
z�skali ze zad�n� ODR.
Tedy m��eme nyn� korektn� zintegrovat ob� strany.
\end{proof}

\noi {\bf Uk�zka (ne)jednozna�nosti.}

\begin{Priklnum}
\[y' = \sqrt{|y|}\]
B�NO $y>0$.
\begin{align*}
2\sqrt{y} = \int {\dd y \over \sqrt{y}} &= \int \dd x = x + C\\
y &= {(x+c)^2 \over 4}\\
\end{align*}
%\hfil\includegraphics[scale=0.25]{./img01/ma_parabola.eps}\hfil

Pokra�ov�n� p���t�$\dots$
\end{Priklnum}

\parindent=0pt
